Выступал за молодёжные команды «Гонведа», «Уйпешта» и «Штутгарта». В сезоне 2006/07 выступал за «Штутгарт II» в Регионаллиге. Всего за «Штутгарт II» Адам провёл 33 матча и забил 15 мячей. В августе 2007 года Салаи перешёл в клуб «Реал Мадрид Кастилья», резервную команду мадридского «Реала». Сумма трансфера составила 500 000 ?. 9 января 2010 года «Реал» отдал Адама в полугодичную аренду в «Майнц 05». В новом клубе Салаи дебютировал 16 января в матче против леверкузенского «Байер 04». Первый гол за «Майнц 05» Адам забил 10 апреля в матче против дортмундской «Боруссии». После истечения срока аренды «Майнц 05» выкупил права на футболиста у «Реала», подписав с Салаи трёхлетний контракт..
В сборной Венгрии дебютировал 11 февраля 2009 года в товарищеском матче против Израиля. Первые голы за сборную забил 8 октября 2010 в матче против Сан-Марино, оформив хет-трик.
Итого: 5 матчей / 4 гола; 3 победы, 1 ничья, 1 поражение.
(откорректировано по состоянию на 8 октября 2010 года)