Родился 24 января 1915 года на хуторе Ганчуков (ныне Пролетарского района Ростовской области) в крестьянской семье. Русский.
Окончил 3 курса Ростовского института инженеров-механизаторов сельского хозяйства в 1937 году.
В Военно-Морском Флоте с 1937 года. В 1939 году окончил Военно-морское училище имени М.В. Фрунзе. Служил на Тихоокеанском флоте. В 1942—1943 годах участвовал в приёме кораблей от США и проводке их в район дислокации Северного флота.
В боях Великой Отечественной войны с ноября 1943 года. Член ВКП(б)/КПСС с 1944 года.
Командуя тральщиком «Т-115» , капитан-лейтенант Иванников А.И. к январю 1945 года участвовал в 104 боевых походах. Его тральщик вместе с другими кораблями отконвоировал 232 союзных и отечественных транспорта с военными грузами, отразил 8 атак вражеских подводных лодок. В ноябре-декабре 1944 года в условиях полярной ночи тральщик под командованием А.И. Иванникова произвёл 28 боевых выходов на траление фарватеров у населённых пунктов Петсамо (ныне Печенга Мурманской области) и Киркенес (Норвегия), уничтожив и обезвредив 110 вражеских мин.
После войны продолжал службу в ВМФ СССР. В 1953 году окончил курсы усовершенствования офицерского состава при Военно-морской академии. С 1960 года капитан 1-го ранга Иванников А.И. — в запасе, а затем в отставке.
Жил в городе Калининграде. Умер 29 марта 1996 года, похоронен в Калининграде.
Первым командиром тральщика «Т-115» (тип тральщика — «AM») был капитан-лейтенант Савлевич Андрей Мартынович. После его перевода на Балтику командиром тральщика стал капитан-лейтенант Иванников Афанасий Иванович.