Согласно родословным росписям, Акинф был сыном боярина Александра Невского Гаврилы Алексича, убитого, согласно родословным, в 1241 году.
Об Акинфе известно не очень много. Вместе с братом Иваном Морхиней он служил одному из сыновей Александра Невского, князю Андрея Александровича Городецкого, который стал в 1294 году Великим князем Владимирским.
Андрей Городецкий умер в 1304 году. В Симеоновской и Никоновской летописях в статье, датированной 1305 годом, говорится о том, что Акинф после смерти князя Андрея отъехал со своими родными и челядью к тверскому князю Михаилу Ярославичу, который был утверждён в Орде новым великим князем Владимирским. Согласно тем же летописям, в том же году Акинф, желал вернуть в подчинение великого князя Переяславское княжество, присоединённое к Московскому княжеству князем Даниилом Александровичем в 1302 году. Однако поход окончился неудачно. В Переяславле наместником сидел Иван, второй сын умершего в 1303 году Даниила Московского. Полки Акинфа осадили Переславль, однако в результате произошедшей битвы войско Акинфа потерпело поражение, а сам Акинф вместе с зятем Давыдом Давыдовичем погиб.
Расширяет рассказ Симеоновской и Никоновской летописей о гибели Акинфа родословная легенда Квашниных, помещённая в Новгородской четвёртой летописи по списку Дубровского. Согласно ей на выручку Ивану пришёл московский полк, который возглавлял боярин Родион Несторович. И именно он убил Акинфа. Эту информацию подтверждает родословной росписи Свибловых, потомков Акинфа.
Однако существуют хронологические противоречия между двумя версиями. Согласно родословной легенде Квашниных, Родион Несторович выехал в Москву в 1332 году на службу к великому князю. А поход Акинфа и его гибель относится к 1336/1337 году, что противоречит дате Симеоновской и Никоновской летописей — 1304 год. На это противоречие обратил внимание С. Б. Веселовский, однако он посчитал правильной датой смерти Акинфа 1304 год. По мнению Веселовского, столкновение Родиона Несторовича в 1336/1337 году могло произойти с сыновьями Акинфа, которые выехали из Твери в Москву. А по мнению князя П. Долгорукого выезд Родиона Несторовича относится к 1300 году. Однако некоторые историки принимают версию родословной Квашниных. Так Ю. В. Коновалов считает, что Акинф погиб в 1336/1337 году. Также он сомневается в том, что отцом Акинфа мог быть Гаврила Алексич, опираясь при этом как на хронологические соображения (между годом смерти Гаврилы Алексича (1241) и первым годом упоминания Акинфа (1304) довольно большой промежуток), так и на сообщения приводимого С. Б. Веселовским синодика Переяславского Горицкого монастыря, в котором в числе самого раннего предка Ивана Андреевича Чулкова и Александра Упина-Слизнева самым ранним назван Гаврила, а имя Алекса отсутствует. По мнению Коновалова, отцом Акинфа Великого и Ивана Морхини был Гавриил, родоначальник Кутузовых.
Акинф является родоначальником рода Акинфовых (в старину Окинфовых), вскоре разделившегося на несколько московских боярских родов. От него произошли Челядины, Хромые-Давыдовы, Бутурлины, Свибловы, Каменские, Курицыны, Замыцкие, Застолбские, Слизневы, Жулебины, Чоботовы, Чулковы.
Имя жены Акинфа неизвестно. Дети:
Акинф Великий является одним из действующих лиц в серии романов «Государи московские» писателя Дмитрия Балашова.