Акпер Ага Шейхульисламов родился в 1891 году в Эривани. Среднее образование получил в Эриванской гимназии. В 1912 году поступил в Петербургский институт инженеров путей сообщения, где окончил курс в 1917 году. В связи с возникшей политической ситуацией после февральской революции 1917 года вернулся на родину. В 1918 году был избран членом Закавказского сейма. Был членом социал-демократической группы «Гуммет». Входил в состав делегации Закавказского сейма на мирных переговорах с Турцией в марте 1918 года. Исполнял обязанности заместителя министра внутренних дел Закавказского правительства.
После распада ЗДФР Акпер Ага Шейхульисламов вошёл в состав Азербайджанского национального совета. Принимал участие в подписании декларации о провозглашении Азербайджанской Демократической Республики 28 мая 1918 года. В первом правительственном кабинете АДР занял пост министра земли и труда. Входил в состав социалистической фракции в парламенте АДР. Был членом делегации Азербайджанской Демократической Республики на Парижской мирной конференции 1919 года. После распада АДР остался жить в эмиграции.
Акпер Ага Шейхульисламов умер в Париже 2 марта 1961 года. Похоронен на кладбище города Бобиньи, пригорода Парижа.