Александр Вуд родился в Шотландии. Его родители переехали в США, когда ему было 14 лет. Незадолго до отъезда Вуд успел сыграть матч против Уэльса за юношескую сборную Шотландии. Спустя год он получил американское гражданство. В США Вуд посещал Школу искусств Эмерсона и работал в компании по производству стали.
Свою футбольную карьеру Александр Вуд начал в клубе «Бриклейерс-энд-Мейсонс» из Чикаго. В 1928 году команда дошла до финала Нэшнел Челлендж Кап, где проиграла «Нью-Йорк Нэшнелз». Затем Александр перешёл в детройтский «Холли Карбюрейтор». С 1930 года Вуд уже выступал за профессиональный клуб Американской Футбольной Лиги, «Бруклин Уондерерс». Затем случился двухлетний перерыв в его карьере. В 1933 году Вуд уехал в Англию и стал играть за «Лестер Сити». В 1936-м он перешёл в «Ноттингем Форест», через год перебрался в «Колчестер Юнайтед», где также провёл лишь один сезон. В 1939 году Александр Вуд ушёл из футбола. Последней командой, за которую он выступал, был клуб «Челмсфорд Сити».
За сборную Вуд выступал на чемпионате мира 1930 года. Он отыграл на турнире три матча на позиции правого защитника, а затем ещё принял участие в товарищеской игре против Бразилии в рамках турне по Южной Америке после завершения чемпионата.
Итого: 4 матча / 0 голов; 2 победы, 0 ничьих, 2 поражения.