Родился в Одессе, в богатой дворянской семье. Печататься начал во время учёбы в Новороссийском университете. В 1881 году Башмаков окончил юридический факультет университета со званием кандидата прав и несколько месяцев провел в Восточной Румелии, занимая должность секретаря законодательной комиссии румелийского управления. В 1882—1885 годах занимался адвокатской деятельностью в Одессе, работал городским мировым судьей и председателем съезда мировых судей в городах Дубно и Либава. Принимал участие в подготовке открытия первой в Европе Пастеровской бактериологической станции в Одессе, сотрудничая с И. И. Мечниковым и Н. Ф. Гамалеей. Переписывался с Пастером, и стал первым жертвователем, внеся тысячу рублей на создание станции.
Участвовал в судебной реформе, проводимой в Прибалтике. Башмаков стал мировым судьей в Прибалтийском крае, и разрабатывал законодательство в редакционной комиссии, подготавливающей новое общеимперское гражданское уложение. Идеологией Башмакова стал некий «монархический национализм», понятия которого неоднократно декларировались им в речах и статьях:
В 1898 году поступил на юрисконсультскую службу в Министерство иностранных дел. Он стал изучать ситуацию на Балканах, в следующем году отправился в путешествие через Болгарию в Македонию, обстановка в которой была крайне напряжённой. Путешествие послужило материалом для статей, в которых он доносил бедственное положение славян на Балканах до российских обывателей. По определению Башмакова, славянская идея — это «такая линия, по которой средства русского государства, отстаивая русские интересы в европейской политике, были бы направлены к тому, чтобы всячески содействовать, вне России, росту славянских племен, в которых инстинктивно живет чувство солидарности с русским племенем».
В 1904—1905 годах служил редактором в официальном дипломатическом издании министерства внутренних дел «Journal de St.-Petersboug», выходившем на французском языке. 1 октября 1905 года он купил газету «Военное время», и начал издавать, переименовав в «Народный голос». В ходе революционных событий 1905—1907 годов он неоднократно высказывался о необходимости жёсткого противодействия революционным силам, а в начале 1906 года создал «Русскую Партию Народного Центра». Новая партия была политически левее «Союза русского народа» и «Русского собрания», но правее «Союза 17 октября». Башмаков со своей партией активно участвовал в I Всероссийском съезде Русского собрания 8-12 февраля 1906 года, проходившего в Петербурге, и во II Всероссийском съезде Русских Людей 6-12 апреля 1906 года в Москве. В новую партию вступили такие интеллектуалы как Платон Кулаковский, Николай Шипов, Николай Кузнецов, Павел Мансуров и другие. Примерно в это время стал членом Русского собрания, а в 1908 году был одним из инициаторов создания Русского окраинного общества.
По инициативе П. А. Столыпина, назначен на должность главного редактора газеты «Правительственный В?стникъ» и занимал её, с перерывом, до 1913 год. Также, при содействии Столыпина, был включён в состав Совета Министерства внутренних дел.
Научными увлечениями Башмакова была этнография: исследовал Алтай, Балканы, Судан и многие европейские страны.
После революции 1917 года, некоторое время был помощником главноуполномоченного Красного Креста при генерале А. И. Деникине, а в 1919 году эмигрировал сначала в Турцию, Сербию, а в 1924 году — во Францию. Принимал участие в двух крупнейших съездах эмиграции: Рейнхенгалльском в 1921 году и Парижском — в 1926. В эмиграции он продолжил отстаивать монархические и панславистские идеалы, занимался этнографией, преподавал во французской Школе антропологии на кафедре палеонтологии черноморских стран и во французском институте палеонтологии человека.
Умер в 1943 году, похоронен на кладбище Сент-Женевьев-де-Буа.