Родился в Петербурге в семье чиновника.
В 1902 году окончил гимназию № 2 (ул. Казанская, 27) и стал студентом историко-филологического факультета Петербургского университета. В 1908 году окончил Петербургский университет.
Участвовал в организации Передвижного театра П. П. Гайдебурова (1905 год) в котором позже (1918) поставил свой первый детский спектакль.
В 1921 возглавлял комиссию по организации театра для детей в Петрограде. В результате в 1922 был открыт Театр юных зрителей, бессменным руководителем которого до самой своей смерти был А. А. Брянцев. В ТЮЗе А. А. поставил 48 спектаклей. Ряд этих спектаклей («Сын полка» В.П. Катаева, «Морская дружба» Вагнера, «Красный галстук» С.В. Михалкова) были отмечены Сталинской премией второй степени (1950).
А. А. Брянцев — автор ряда книг и статей по вопросам теории и практики детского театра для детей. Своими спектаклями он, как отмечалось в БСЭ, наметил «основные пути развития советского театра для детей».
Член КПСС с 1943 года.
Награжден 4 орденами, а также медалями.