А. А. Головачёв родился 27 ноября (10 декабря) 1909 года в селе Любохна Брянского уезда Орловской губернии (ныне посёлок городского типа в Дятьковском районе Брянской области), в семье рабочего.
В армии с 1929 года. В 1932 году закончил объединённую военную школу имени ВЦИК РСФСР.
С 1941 года Головачёв на фронтах Великой Отечественной войны, командует стрелковым полком, а с августа 1942 года — 52-й мотострелковой бригадой 15-го танкового корпуса 3-й танковой армии. За отличие в боях в феврале 1943 года бригада под командованием Головачёва переименована в 23-ю гвардейскую мотострелковую бригаду 7-го гвардейского танкового корпуса 3-й гвардейской танковой армии.
Успехи и подвиги бригады полковника Головачёва во время Львовско-Сандомирской операции были по заслугам отмечены указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1944 года. Этим указом командиру 23-й гвардейской мотострелковой бригады гвардии полковнику Головачёву Александру Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4659). Вместе с ним были удостоены этого высокого звания ещё 14 воинов бригады.
6 марта 1945 года гвардии полковник Головачёв А. А. погиб в бою в Силезии в районе Логау в Польше в результате ранения осколком вражеского снаряда. Похоронен в городе Васильков Киевской области Украины.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 апреля 1945 года командир 23-й гвардейской мотострелковой бригады, Герой Советского Союза, гвардии полковник Головачёв Александр Алексеевич посмертно награждён второй медалью «Золотая Звезда».
После смерти Головачева бригаду воглавил Герой Советского Союза — Шаповалов, Евгений Петрович.