А. А. Путря родился в 1929 году в селе Лиховка Днепропетровского района Днепропетровской области. В 1951 закончил Днепропетровский металлургический институт и был направлен на работу на Новолипецкий металлургический завод, где работал начальником железнодорожной станции, начальником службы движения, заместителем секретаря парткома.
С 1958 — на партийной работе: в 1958—1961 — второй, а в 1961—1963 и 1964—1975 первый секретарь Липецкого горкома КПСС, в 1963—1964 — второй секретарь Липецкого промышленного обкома КПСС.
В 1975 году А. А. Путря переведён на работу в ЦК КПСС, где работал инструктором Комитета партийного контроля. В том же году закончил Высшую партийную школу.
А. А. Путря неоднократно избирался депутатом Липецких областного и городского Советов.
Липецкая энциклопедия. Том 3.