После окончания в 1928 году Смоленского университета А. Г. Курош был направлен в Саратовский университет, где создал и возглавил кафедру алгебры.
С 1930 года и до конца жизни преподавал в Московском университете, которому посвятил более 40 лет. Протестовал против репрессий в отношении Д. Ф. Егорова, за что был исключён из комсомола (1930). В 1936 году защитил докторскую диссертацию под научным руководством академика П. С. Александрова. Профессор МГУ с 1937 года.
В 1949 году А. Г. Курош возглавил кафедру высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.
Подпись А. Г. Куроша была под «письмом 99 математиков» (1968) в защиту арестованного А. С. Есенина-Вольпина, однако вскоре в советской печати появилось заявление А. Г. Куроша о том, что он не подписывал данное письмо.
А. Г. Курош был главным редактором биографо-библиографического двухтомного справочника:
С 28 мая по 3 июня 2008 года на мехмате МГУ прошла Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения профессора Куроша.
Жена — Зоя Михайловна Кишкина (1917—1987), преподаватель математического анализа на механико-математическом факультете МГУ