Александр Георгиевич Алейников родился 5 (18) августа 1913 года в семье рабочего. По национальности русский. Член КПСС с 1949 года. Окончив среднюю школу в городе Гудермесе работал токарем в депо станции Гудермес. В армии в 1935—1937 и с мая 1943. Призван Щучинским РВК Кокчетавской области.
В боях Великой Отечственной войны участвовал с октября 1944 года. В бою 5 апреля 1945 года старшина Алейников первым ворвался во вражескую траншею и лично уничтожил несколько фашистов и пулемётную точку. Во время боя в населённом пункте Гросс-Фридрихсберг под Кенигсбергом (Калининград), взобравшись по водосточной трубе на второй этаж дома, вместе с двумя бойцами забросал гитлеровцев гранатами. 11 апреля при отражении контратаки противника был ранен, но не покинул поля боя.
29 июня 1945 года А. Г. Алейникову было присвоено звание Героя Советского Союза.
После войны демобилизован. Работал в Гудермесе, куда возвратился после войны. Похоронен в Гудермесе, умер во время чеченских войн.