Родился 23 ноября 1911 года в селе Борисовка (ныне посёлок Белгородской области) в семье рабочего. Русский. Окончил 6 классов и школу ФЗУ. Работал слесарем на заводе в городе Харьков.
В РККА с 1933 года. Член КПСС с 1937 года. В 1939 году окончил курсы младших лейтенантов.
В начале Великой Отечественной войны лейтенант А. М. Мартынов — командир танковой роты КВ-1 16-го танкового полка 16-й танковой бригады 54-й армии Ленинградского фронта.
В октябре-ноябре 1941 года в районе Волхова немецкие войска пробивались к южному побережью Ладожского озера. В начале ноября противник силой до батальона пехоты, поддержанной миномётами и ротой танков, занял деревню Жупкино Волховского района Ленинградской области и стал продвигаться в северо-западном направлении. 8 ноября 1941 года отряд из двух рот 6-й бригады морской пехоты при поддержке танка КВ-1 (А. М. Мартынов) и двух танков Т-26 перешёл в контратаку. А. М. Мартынов проявил военную тактическую хитрость, открыв огонь из засады по нескольким немецким танкам. В результате чего сумел подбить 5 танков, а 3 — захватить и в полной исправности доставить в расположение своей части. Вскоре эти машины были отремонтированы и воевали в составе 16-й танковой бригады.
За этот подвиг 10 февраля 1943 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.
Командир танкового взвода старший лейтенант А. М. Мартынов погиб в бою 26 марта 1942 года.
Жена Ольга Александровна Мартынова (род. 1911) проживала в городе Харьков.
Похоронен в братской могиле в посёлке Новая Маклуса Кировского района Ленинградской области.
9 мая 2005 года в посёлке Борисовка Белгородской области открыта Аллея Славы, на которой установлен бюст Героя Советского Союза А. М. Мартынова.