Родился 8 апреля 1920 года в деревне Малое Коровино ныне Захаровского района Рязанской области. С 1932 года жил в Москве. В 1937 году окончил 10 классов школы, в 1939 году – Московский финансово-экономический техникум. Работал налоговым инспектором в Москве.
В армии с октября 1940 года. Служил в танковых войсках (в Среднеазиатском военном округе). В 1941 году окончил полковую школу.
Участник Великой Отечественной войны: в июле–октябре 1941 – командир танка Т-26 18-го танкового полка (Брянский и Западный фронты). Участвовал в Смоленском сражении и Московской битве. 18 октября 1941 года был тяжело ранен. До января 1942 года находился на излечении в госпитале в Сормово (ныне в черте города Нижний Новгород). Не окончив лечение, уехал в формирующуюся танковую часть, вместе с которой впоследствии прибыл на фронт.
В июле–сентябре 1942 – радист-стрелок танка Т-34 163-й танковой бригады, в сентябре–октябре 1942 – радист-стрелок танка Т-34 56-й танковой бригады (Сталинградский фронт). Участвовал в обороне Сталинграда. 29 октября 1942 года был тяжело ранен и контужен во время налёта вражеской авиации и отправлен в тыл.
В 1943 году окончил Полтавское танковое училище (находившееся в эвакуации). С января 1944 года вновь на фронте.
В январе–июне 1944 – командир танка Т-34-85 5-го отдельного учебного танкового полка (1-й Прибалтийский фронт), в июне–декабре 1944 – командир танка Т-34-85 53-й гвардейской танковой бригады (1-й Украинский фронт). Участвовал в боях на витебском направлении и Львовско-Сандомирской операции. За время войны семь раз горел в танке.
12 августа 1944 года, действуя в составе танковой группы, на подступах к деревне Оглендув (Сташувский повят, Свентокшиское воеводство, Польша) отразил атаку превосходящих сил противника в составе 11 танков. В бою уничтожил три новейших вражеских танка «королевский тигр», а один танк повредил. 13 августа 1944 года его танк одним из первых ворвался в деревню Оглендув и уничтожил десятки вражеских солдат. В ходе этого боя были захвачены три танка «королевский тигр».
За мужество и героизм, проявленные в боях, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1944 года гвардии младшему лейтенанту Оськину Александру Петровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
С января 1945 года – слушатель командного факультета Военной академии бронетанковых и механизированных войск. Из-за последствий контузии в декабре 1945 года был вынужден прекратить обучение. До января 1952 года служил в парке учебных машин Военной академии бронетанковых и механизированных войск: старшим механиком-водителем, командиром взвода, заместителем командира и командиром роты иностранных танков. Освоил все типы отечественных и несколько типов зарубежных танков того периода.
В 1952 году окончил Ленинградскую высшую офицерскую бронетанковую школу. В 1952-1954 – начальник штаба учебно-паркового батальона обеспечения Военной академии бронетанковых и механизированных войск. В 1957 году окончил Военную академию бронетанковых войск. Продолжал службу в танковых войсках: командиром танкового батальона (в Южной группе войск, Венгрия) и командиром батальона учебно-боевых танков учебного танкового полка (в Московском военном округе).
В 1964-1969 – преподаватель военной кафедры Московского института стали и сплавов. С октября 1971 года подполковник А. П. Оськин – в запасе.
В 1971-1972 работал старшим инженером в Московском институте стали и сплавов, в 1972-1986 – военруком в Московском механико-технологическом техникуме пищевой промышленности.
Жил в Москве. Умер 21 февраля 2010 года. Похоронен на Кузьминском кладбище в Москве.