Родился в семье крестьянина-бедняка. Учился в сельской школе, в Пронском городском училище, затем в рязанской гимназии № 2 (теперь — № 7). В 1910 году поступил на физико-математический факультет Московского университета, но уже в 1911 году за участие в революционных выступлениях студенческой молодежи он был исключен из университета и выслан из Москвы. В 1912 году по ходатйству профессора Н. А. Умова был восстановлен в университете и после окончания его в 1916 году был оставлен для подготовки к профессорскому званию. Во время обучения в университете начал научную работу в бывшей лаборатории Лебедева П. Н. под руководством П. П. Лазарева. В 1919 году успешно сдал магистрские экзамены и был зачислен в штат в должности ассистента. Профессор в Московском университете с 1930 года. В 1937—1946 годах декан физического факультета МГУ и директор Научно-исследовательского института физики Московского университета. В этот период по его инициативе на физическом факультете МГУ создаётся ряд новых кафедр, в том числе кафедра математики. С 1938 года параллельно заведует лабораторией по физике горения Энергетического института АН СССР.
В 1944 году вступил в открытый конфликт с И. Е. Таммом и противодействовал его избранию на должность заведующего кафедрой теоретической физики физического факультета МГУ. На его стороне было консервативное большинство Учёного Совета. Это противостояние привело к критической ситуации, когда было написано письмо 14 академиков, адресованное председателю Всесоюзного комитета по делам высшей школы С. В. Кафтанову. В результате С. В. Кафтанов назначил на эту должность В. А. Фока, который проработал лишь два месяца.
Создавшаяся ситуация привела к новому витку конфликта, в июле 1944 года В. М. Молотову было написано письмо четырёх академиков, в котором учёные за подписью академика А. Ф. Иоффе призывали заменить А. С. Предводителева. В 1945 году В. А. Фока год сменил А. А. Власов, а в 1946 А. С. Предводителев был заменён на С. Т. Конобеевского.
А. С. Предводителев похоронен в Москве на Введенском кладбище.
Основные работы относятся к области молекулярной физики, гидродинамики и физики тепла, к вопросам исследования процессов горения, распространения волн в жидких и газовых средах, проблемам газовой динамики реагирующих сред, физическим свойствам жидкостей и другим. Принимал участие в теоретических и экспериментальных исследованиях процесса горения. Разработал широко применяемую в технике теорию гетерогенного горения, установившую связь между химическими и физическими процессами, обусловливающими горение углерода. В области гомогенного горения создал весьма плодотворный метод, развивающий идеи В. А. Михельсона. Разработал метод описания акустической дисперсии в жидкостях и газах, оказавшийся весьма эффективным при решении многих задач физической акустики.
В 1957—1962 годах создал многотомные подробные «Таблицы термодинамических функций воздуха», содержащие значения газодинамических и термодинамических величин для воздуха при температурах до 20 000° К и давлениях от 0,001 до 1000 атм.
Инициатор издания и автор ряда статей в сборнике «Очерки по развитию физики в России».
Опубликовал 3 монографии и около 200 статей: