В 1938 году поступил на механико-математический факультет МГУ.
С началом Великой Отечественной войны был мобилизован на строительство траншей для защиты Москвы, по возвращении с работ повторно подал прошение о вступлении в ряды Вооруженных Сил и вскоре был отправлен на фронт. В зимнем наступлении под Москвой его храбрость принесла не только орден, но и первое серьёзное ранение. В 1943 году был повторно ранен, после чего уволен из рядов Вооружённых Сил по состоянию здоровья.
В 1944 году возобновил обучение в МГУ. Под руководством Н. Н. Лузина создал теорию функций двух переменных, составившую основное содержание его кандидатской диссертации, успешно защищённой в 1949 году в МГУ, причем с присуждением Кронроду сразу степени доктора физико-математических наук (официальные оппоненты — академик АН СССР М. В. Келдыш, академик АН СССР А. Н. Колмогоров, профессор Д. Е. Меньшов).
В 1945—1949 годах работал также на вычислительной кафедре Института атомной энергии им. И. В. Курчатова, где занялся вычислительной математикой и совместно с инженером Николаем Ивановичем Бессоновым создал РВМ — релейную вычислительную машину.
В 1950—1955 годах занимался поиском численных решений физических проблем; за свою работу над проблемами государственной важности был награжден Сталинской премией и Орденом Красного Знамени.
В начале 1950-х годов возглавлял лабораторию в Институте теоретической и экспериментальной физики (ИТЭФ), предназначенную для решения физических задач, связанных с созданием атомного оружия.
В 1963 году в лаборатории под руководством А. С. Кронрода (ИТЭФ) начаты работы над первой советской шахматной программой.
Вел в МГУ математический кружок для школьников, в котором занимались многие впоследствии знаменитые математики. В 1961 году Кронрод начал работать в школе № 7, и его деятельность способствовала развитию математического образования в СССР. В числе школьных учеников А. С. Кронрода — будущий профессор А. Хованский.
В 1966 году присвоено учёное звание профессор.
В 1968 году в числе 99 советских математиков подписал письмо против насильственного заключения в психиатрическую больницу по политическим мотивам А. С. Есенина-Вольпина, после чего был уволен с работы.
C 1968 году работал в Институте патентной информации, с 1974 года — в Центр. геофиз. эксп. Министерства нефтяной промышленности СССР.
Первая публикация научной работы А. С. Кронрода состоялась в 1939 году (1-й курс МГУ) — в «Известиях Академии Наук СССР» была напечатана его статья о структуре множества точек разрыва функции, дифференцируемой в точках непрерывности.
Первый международный матч шахматных программ состоялся в 1967 году, состязались программа ИТЭФ и программа Стэнфордского университета, сделанная под руководством Дж. Мак-Карти. Ходы передавались по телеграфу раз в неделю; матч продолжался целый год и закончился со счетом 3:1 в пользу программы А. С. Кронрода (ИТЭФ).