Родился 23 января 1987 года. Мать — Пузиновская Наталья Игоревна, отец — Пузиновский Юрий Анатольевич. Старший стрелок-гранатометчик спецназа войсковой части №7463 Приволжского округа внутренних войск МВД России, дислоцированной в Саратове. Проходил службу по контракту.
7 июля 2009 года разведывательной группе отряда специального назначения Приволжского регионального командования внутренних войск, в составе которой был Пузиновский, была поставлена задача на проведение разведывательно-поисковых мероприятий по обнаружению незаконного вооружённого формирования близ населённого пункта Бамут Ачхой-Мартановского района. Младший сержант Пузиновский находился в головном дозоре и, обнаружив противника, автоматным огнём дал целеуказание по его сосредоточению. В ходе боя командир группы старший лейтенант Владимир Михеев был ранен; Александр Пузиновский пришёл к нему на помощь, но, вынося командира с поля боя, попал под перекрёстный огонь и был тяжело ранен. 12 июля 2009 года в 23.20 стрелок-гранатомётчик группы специального назначения младший сержант Пузиновский Александр Юрьевич скончался.
Александр Пузинский был награждён медалью «Защитнику Чеченской Республики» посмертно по Указу Президента Чеченской Республики Рамзана Кадырова. 23 декабря 2009 года глава администрации Сыктывкара Роман Зенищев вручил родственникам Пузиновского медаль.
Указом Президента Российской Федерации от 4 августа 2010 года Александру Пузиновскому было присвоено звание Герой Российской Федерации посмертно с формулировкой
.
14 сентября 2010 года в Уфе министр внутренних дел Российской Федерации Рашид Нургалиев вручил медаль «Золотая Звезда» родителям Александра Пузиновского.