Уроженец села Коприно Ярославской губернии (ныне затоплено). Сын волжского лоцмана. При содействии промышленника В.И. Бландова окончил реальное училище, Петровскую сельскохозяйственную академию в 1886 году. После этого 3 года стажировался в институте Пастера в Париже.
Первым открыл в Москве (на Петровке, 17) специализированный магазин молочной продукции. До этого в Москве в магазинах торговали только сыром, а остальная молочная продукция продавалась на улице и рынках, непосредственно её производителями. Его дело быстро развивалось и вскоре он занялся не только продажей, но и переработкой молока. Первый городской молочный завод был построен в Москве в 1910 году на Новорязанской улице, завод перерабатывал 100—150 тонн молока в сутки и был одним из самых передовых по техническому оснащению предприятий своего времени. К 1914 году предприятия Чичкина включали в себя: молочный завод и творожно-сметанный филиал, 91 молочный магазин в Москве, Одессе, Тбилиси, Харькове, Баку, Киеве, Ялте, Ростове-на-Дону, маслозаготовительные станции в Сибири. Магазины в Москве обслуживали 36 грузовых и 8 легковых автомобилей. На предприятиях работали 3 тысячи сотрудников.
Чичкин применял на своих предприятиях свою собственную оригинальную методику воспитания, продвижения и стимуляции сотрудников. В основе её лежало разбиение сотрудников на различные возрастные категории и применение к каждой категории своих подходов и своей системы стимулов. Целью метода было создание стабильного коллектива, в котором люди могли трудиться всю жизнь при естественной для каждого возраста мотивацией к труду.
Чичкин был яркой неординарной личностью, сам водил автомобиль, по утрам в виде разминки летал на собственном аэроплане «Фарман-7». До октября 1917 года он прятал от полиции некоторых революционеров — Молотова, Подвойского, Смидовича.
В 1918 году на А. В. Чичкина обрушилась полоса несчастий: погиб под трамваем его сын Александр, затем умер в Одессе один из братьев, Иван Васильевич, а другой брат — Николай Васильевич, поехав на похороны также погиб по нелепой случайности (упал в шахту лифта молзавода). Чичкин выехал в Одессу, а затем оказался в эмиграции во Франции. 5 октября 1918 года его предприятия были национализированы. В 1922 году он с помощью графа Игнатьева и Семашко возвращается в Советскую Россию. До 1928 года он был старшим консультантом Наркомата торговли СССР, тесно сотрудничая с Микояном. В годы НЭПа он опять открыл в Москве свой молочный магазин. По рекомендации Микояна и Молотова в 1926 году А. В. Чичкина, единственного бывшего миллионера России, наградили орденом «Знак Почёта».
Однако весной 1929 года его направили на «трудовое перевоспитание» в Северный Казахстан (г. Кустанай). В ссылке он продолжает заниматься своим делом, читает лекции об организации молочного производства. В 1931 году Молотов и Микоян вызволили Чичкина из ссылки, восстановив его во всех прежних правах. Даже после ухода на пенсию к нему часто обращались за советами организаторы пищевой промышленности. Своими рекомендациями он помогал становлению и развитию производства простокваши, ряженки, ацидофилина, творожных продуктов и молочно-карамельных смесей на заводах Поволжья, Закавказья, Ленинградской области и Карелии в 1930—1940 годах. Во время Великой Отечественной войны он принял участие в разработке технологии выпуска молочных продуктов при меньшем расходе сырья. В 1944 году давал рекомендации по развитию молочного животноводства и производства в Средней Азии. За эту работу Чичкина поблагодарили И. В. Сталин и А. И. Микоян в телеграмме 9 мая 1945 года. В 1942 году в связи с 80-летием со дня рождения ему присвоено звание «Ударник третьего пятилетнего плана». В апреле 1947 г. Александр Васильевич предложил правительству развивать в восстанавливаемых после войны регионах мало- и среднемощные предприятия по переработке молока, эти предложения были приняты для развития молочной индустрии в этих регионах в конце 1940-х — первой половине 1950-х годов.
Скончался Александр Васильевич в конце января 1949 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище. В 1949—1956 годах вблизи Арбата был переулок его имени, потом его переименовали, а в 1970-х годах застроили.