Годы детства и учёбы прошли в Москве. Закончил Московский институт электронного машиностроения по специальности «прикладная математика» (1977) и Московский архитектурный институт по специальности «реставрация» (1981).
Учась в МИЭМе, в студенческие каникулы работал на реставрации памятников архитектуры. Вначале на реставрации Троицкой церкви села Бёхово Тульской области, построенной по проекту художника В. Д. Поленова, затем в Переславле-Залесском, под руководством известного архитектора-реставратора Ивана Борисовича Пуришева. Работал разнорабочим, каменщиком, плотником, столяром. Получил 6-й разряд каменщика-белокаменщика. В конце 1970-х был заведующим мемориальным отделом Музея-усадьбы Поленово, занимаясь вопросами реставрации зданий и сооружений музея.
По окончании МАРХИ уехал из Москвы в глубинку Архангельской области — село Верхняя Уфтюга Красноборского района, где в течение 6 лет жил и работал архитектором, плотником, прорабом, реставрируя деревянный памятник XVIII века — церковь Дмитрия Солунского. Среди первых его рабочих было немало, имеющих уголовное прошлое (других свободных рук в то время в этих глухих местах не было). Справляться с ситуацией помогала его отменная физическая сила, поддерживаемая ежедневным физическим трудом на памятнике, знание спортивных единоборств. За реставрацию этого памятника ему была присуждена Государственная премия РСФСР (1991). После окончания работ в Верхней Уфтюге переехал в село Нёнокса Архангельской области, где занимался реставрацией деревянной Никольской церкви и колокольни.
В 1988 году создал свою реставрационную мастерскую.
Несмотря на то, что Администрация Архангельской области высоко ценила его работу в селе Нёнокса (за неё он был награждён в 1995 году «Премией за достижения в области реставрации памятников истории и культуры»), в 1996 году финансирование реставрационных работ было прекращено и он был вынужден вернуться в Москву. В Москве Александр Попов участвовал в реставрации дома Мельникова, главного дома с флигелем усадьбы В. Е. Морозова «Одинцово-Архангельское», рядовой застройки Пятницкой улицы и других объектов. В 2000 начал работы в Кирилло-Белозерском монастыре, в том числе, в 2003 — реставрацию церкви Ильи Пророка на Цыпинский погосте (филиале Кирилло-Белозерского музея заповедника) и в итоге в 2004 году переехал на постоянное жительство в город Кириллов Вологодский области.
Первым объектом, комплексной реставрацией которого занимался Александр Попов, было Аббатство (мастерская художника Василия Дмитриевича Поленова) в Музее-усадьбе Поленово Тульской области.
В селе Верхняя Уфтюга Архангельской области Поповым методом полной разборки выполнена реставрация церкви Дмитрия Солунского.
В селе Нёнокса Архангельской области полностью отреставрирована и колокольня и начаты работы на Никольской церкви (1989 — 1993).
Во время московского периода, кроме перечисленных выше объектов, Поповым сделан проект и выполнена реконструкция Библиотеки иностранной литературы им. М. И. Рудомино, он участвовал в реставрации здания МАРХИ — памятника архитектуры XVIII-XIX веков.
В Кириллове и Кирилловском районе Вологодской области он отреставрировал Церковь Введения с одностолпной трапезной палатой 1519 года, стены башни XVII века, братский корпус XVII века, домик Келаря XVII века и ряд других сооружений Кирилло-Белозерского монастыря. Им полностью восстановлена рухнувшая деревянная церковь Ильи Пророка на Цыпинском погосте 1755 года постройки — памятник архитектуры федерального значения.
Начиная с конца августа 2009 года руководимый им реставрационный центр ведёт работы на деревянной церкви Ризоположения из села Бородавы (1458).
По принятой ЮНЕСКО «Международной хартии по консервации и реставрации памятников и достопримечательных мест» 1964 года («Венецианской хартии») все части строения, все конструкции, детали, узлы, а также особенности обработки поверхностей элементов должны соответствовать времени возведения постройки. Для этого необходимо строгое соблюдение исторической технологии строительства, применении исторического инструмента и приёмов работы этим инструментом.
Признано, в том числе современными учёными-древисиноведами, что соблюдение исторической технологии обработки древесины увеличивает длительную сохранность деревянных элементов и долговечность всего строения. Впервые в России реставрация памятника в соответствии с исторической технологией строительства с применением старинного плотницкого инструмента и приёмов работы с ним была осуществлена Александром Поповым при реставрационных работах 1981—1988 годов на церкви Дмитрия Солунского (1784) в селе Верхняя Уфтюга Архангельской области. Анализируя характерные следы работы тем или иным инструментом, сохранившиеся на древесине в разных местах строения, особенно на тёсаных поверхностях, Попову удалось выявить и заново изготовить инструмент, который применяли плотники в прошлом, и частично восстановить способы обработки им древесины.
Плотницкий топор XVII века существенно отличался от современного: выкованный из высопрочной стали, короткий, каплевидный в сечении, с нешироким, 9—15 см, полукруглым, утолщенным, с большой клиновидностью (напоминающий по форме колун для раскалывания дров) лезвием. Иногда, из-за специфики работы заточку лезвия делают несимметричной. Топор более тяжёл, чем топоры XIX века. Топорище длинное и прямое, на конце утолщённое. Топор, которым тесали в XVII веке, в том числе, при постройке церкви Димитрия Солунского в Верхней Уфтюге, при обтесывании скалывает древесину, не утопает в ней глубоко и не оставляет следов в виде царапин, рисок и зазубрин. При этом, при ударе, вогнутой боковой стороной и своей массой одновременно уплотняет древесину на обрабатываемой поверхности. Такой топор держат в руках так, чтобы его лезвие было направлено не параллельно бревну, а перемещалось по дуге к нему — тогда в конце удара топор сам выходил из дерева. В случае, если топор останавливался в древесине и оставлял задир, его снимали следующим ударом, наносимым перед местом окончания в бревне предыдущего удара. Таким образом достигалось плотное примыкание друг к другу перерезанных волокон древесины без задиров. Этот топор оставлял на отёсанной древесине характерные следы: рисунок, похожий на ёлочку или рёбра рыбьего скелета, а в продольном сечении доски волнообразный, напоминающие стиральную доску, рельеф. Тёсаная поверхность получалась настолько гладкой, что об неё нельзя было даже занозить руку, и при этом не плоской и ровной, а волнообразной. С такой поверхности легче уходила дождевая вода, поэтому тёсанная таким образом древесина меньше подвергалась гниению. Технология тёски таким топором также отличается от современной: смотреть на обрабатываемую поверхность надо чуть сбоку, через топор, на дерево (при работе топором XIХ века плотник при тёске смотрит на обрабатываемую поверхность между деревом и топором по отвесу и может видеть только вертикаль поверхности, но не место остановки топора в материале).
В процессе реставрации церкви Ильи Пророка на Цыпином погосте Попов установил, что здесь при тёске применялись топоры, отличные от колунообразных XVII века, с характерно оттянутой пяткой, узким лезвием шириной около 16 сантиметров и треугольной проушиной, отличающиеся от более древних колунообразных топоров.
С целью следования историческим технологиям обработки дерева при проведении реставрационных работ и в Верхней Уфтюге, и в Нёноксе, и на Цыпином погосте и на других объектах использовались реконструированые аналоги этих топоров и других плотницких инструментов.
Возглавляемый А. В. Поповым Реставрационный центр имеет лицензию Росохранкультуры на обучение и повышение квалификации в области реставрации.