Александр Прохоров в 1965 начал играть в гродненском «Немане», однако через год перешёл в минское «Динамо». Затем защищал цвета запорожского «Металлурга», киевского «Динамо», а в 1972 году перешёл в московский «Спартак». Этому клубу вратарь, который дважды (в 1974 и 1975 годах) удостаивался приза журнала «Огонёк» как лучший вратарь СССР, отдал почти шесть лет своей жизни.
В чемпионатах СССР сыграл 130 матчей.
Привлекался в сборную СССР, за которую провёл три матча.
Прохорова как вратаря отличали умелые действия на линии ворот, в единоборствах с выходящими один на один форвардами. Его называли одним из лучших вратарей СССР середины 70-х.
С 1979 года Александр Прохоров перешёл на тренерскую деятельность. Сначала сезон возглавлял «Авангард» из Петропавловска. Затем тренировал «Мелиоратор» (Кзыл-Орда), карагандинский «Шахтёр», «Целинник» (Целиноград) (1985), «Олимпиец» (Москва).
В начале девяностых перешёл на административную работу. С 1996 года выполнял функции начальника сборной ветеранов России при фонде имени Льва Яшина.