Алексей Дмитриевич Терешков родился в селе Корма Гомельского уезда Могилёвской губернии , ныне Добрушского района Гомельской области Белоруссии в крестьянской семье. Белорус.
В 1913 году был призван в армию, после прохождения краткосрочных курсов в чине старшего унтер-офицера был назначен командиром взвода. Награждён тремя Георгиевскими крестами, медалями.
В феврале 1917 года вступил в партию большевиков, активный участник Октябрьской революции. В гражданскую войну прошел путь от командира роты до командира полка.
После окончания войны участвовал в боях на Халхин-Голе и в гражданской войне в Испании.
Начало Великой Отечественной войны застало А. Д. Терешкова на Дальнем Востоке, в должности командира 413-й стрелковой дивизии. В октябре 1941 года дивизия была переброшена на западное направление в состав 50-й армии и приняла участие в Тульской оборонительной операции на дедиловском направлении. 31 октября 1941 года полки дивизии разгрузились на станции Сталиногорск-Северная и, потеснив немецкие войска, заняли оборону на рубеже Нижние Присады, Озерки, Сергеевка, Трушкино. С 9 ноября по 5 декабря части дивизии отражали удары 2-й танковой группы вермахта (генерал-полковник Гудериан) на дедиловском направлении. Под ударами превосходящих сил противника части дивизии отошли на северный берег реки Шат и закрепились на рубеже Марвино, Петрово, а затем участвовали в нанесении контрудара.
В конце ноября части дивизии обороняли город Венёв Тульской области, а генерал А. Д. Терешков был назначен командиром Венёвского боевого участка, которому были подчинены 173-я (полковник А. В. Богданов) и 129-я (полковник А. В. Гладков) стрелковые, 31-я кавалерийская дивизия (полковник Я. Н. Пивнев) и две танковые бригады, ослабленные в боях. Активной обороной противник был задержан под Венёвым на 5 дней. 24 ноября немецким войскам удалось занять город с большими потерями. За время оборонительных боёв части дивизии уничтожили свыше 100 танков противника.
В декабре в рамках Тульской наступательной операции дивизия начала наступление в направлении Щёкино, Жидков, освободив эти города. 29 декабря части дивизии овладели станцией Воротынск. Генерал А. Д. Терешков продолжал в дальнейшем командовать 413-й стрелковой дивизией на Западном фронте, принимал участие в ряде наступательных и оборонительных операций в 1942 году.
23 мая 1943 года генерал-майор А. Д. Терешков назначен командиром 38-го стрелкового корпуса, который возглавлял до Победы. Корпус в составе 50-й, 49-й и 33-й армий принимал участие в Смоленской, Брянской, Гомельско-Речицкой наступательных операциях. В Белорусской стратегической наступательной операции генерал-майор А. Д. Терешков успешно действовал при окружении и уничтожении Могилёвской группировки противника, а в ходе Минской операции обеспечил высокий темп наступления, с ходу освободив города Чаусы и Червень Минской области. Корпус отличился при форсировании Вислы в районе города Пулавы и удержании пулавского плацдарма.
14 января 1945 года в ходе Висло-Одерской стратегической наступательной операции 38-й стрелковый корпус генерала А. Д. Терешкова в составе 33-й армии 1-го Белорусского фронта прорвал оборону противника на пулавском плацдарме и приступил к преследованию врага. С ходу форсировав реку Варта, бойцы корпуса за 15 суток с боями прошли 400 километров, первыми из стрелковых подразделений фронта вступили на территорию Германии — Бранденбурга, форсировали Одер и захватили плацдарм в районе города Фюрстенберг.
Звание Героя Советского Союза было присвоено Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 апреля 1945 года.
После разгрома Германии генерал-лейтенант Терешков участвовал в разгроме Квантунской армии.
В послевоенной время генерал-лейтенант Терешков продолжил службу: командовал корпусом, был заместителем командующего Горьковского военного округа по вузам. С 1953 года в отставке. Проживал в городе Горьком.
Умер 18 марта 1960 года.
Именем А. Д. Терешкова названы: