Родился в деревне Буняковка в Омской губернии, в большой крестьянской семье: у него было три сестры и два брата. Русский.
В годы коллективизации и сопутствующих ей сталинских репрессий летом 1931 года семья Лебедевых была раскулачена и выслана в село Александровское (в то время — Нарымский (Северный) округ Западно-Сибирского края). При том, что семья богатств не имела. Алёша вынужден был рано начать работать наравне со взрослыми. Вместе с отцом пас скот, работал в огороде. Его мать, Лукерья Ивановна, от невзгод ссылки часто болела и в 1936 году умерла. В 1942 году умер и отец — Фёдор Ильич.
Пока была возможность учиться в школе, Алексей учился хорошо, увлекался чтением и даже занимался спортом. Окончил 9 классов неполной средней школы. Но забота о младших братьях и сёстрах легла на плечи старшей сестры и старшего брата Алексея, а также на него самого. Детство закончилось, но школу Алексей полностью так и не закончил. После смерти отца, в 17 лет, как взрослый, он пошёл работать на должность табельщика в промышленную артель «Большевик», чтобы прокормить семью, младших детей. В артели в это время (второй год шла войны) работали в основном женщины и подростки, мужчины села были мобилизованы на войну. Алексей делал всю самую тяжёлую, мужскую работу в артели.
25 мая 1943 года Александровским военкоматом Алексей Лебедев был признан в Красную Армию. 12 мая 1943 года пароход «Карл Маркс» увёз Алексея Лебедева из родного села в город Новосибирск. Здесь, в окрестностях Бердска, Алексей прошёл начальную военную подготовку и 26 августа их рота была отправлена на фронт. В начале сентября 1943 года Алексей Лебедев получил боевое крещение — их рота в составе частей Степного фронта была введена в ход боёв на Днепре. Здесь, при форсировании Днепра, в октябре 1943 года А. Лебедев был тяжело ранен и направлен на лечение в госпиталь города Воронеж.
После выздоровления был направлен на командирские курсы, которые окончил в октябре 1944 года, получил офицерское звание (младший лейтенант) и должность командира взвода. Продолжил службу в казачьих частях.
В составе 2-го Украинского фронта участвовал в освобождении правобережной Украины, Молдавии, Румынии, Венгрии, Чехословакии. В январе 1945 года его полк, в рамках взятия Будапешта (Венгерская и Карпатская операции зимы 1944—1945 гг.) вёл бои с гитлеровцами в Чехословакии, севернее реки Дунай. В одном из ожесточенных боёв пал смертью храбрых.
Похоронен на месте того боя, в районе села Бела близ словацкого города Нове-Замки.
Член ВЛКСМ с 1944 года.
Командир взвода 677-го стрелкового полка 409-й стрелковой кировоградской дивизии 7-й гвардейской армии 2-го Украинского фронта, младший лейтенант Алексей Лебедев в ночь на 6 января 1945 года участвовал в бою за село Бела (36 км юго-восточнее чехословацкого города Нове-Замки). В критический момент боя отважный офицер закрыл своим телом амбразуру пулемётного дзота гитлеровцев, который огнем препятствовал наступлению подразделения. Ценой жизни содействовал выполнению боевой задачи.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 апреля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм младшему лейтенанту Лебедеву Алексею Фёдоровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.