А. Г. Кочетков родился 30 марта 1918 года в селе Соловое Чаплыгинского района Липецкой области в крестьянской семье. С ранних работал ремонтником и грузчиком на станции Калининской железной дороги, а с 1937 года — слесарем в Московском институте горной промышленности.
В 1938 году призван в ряды Красной Армии. Был направлен на учёбу в артиллерийское училище. В период освободительного похода Красной Армии в Западную Украину и Западную Белоруссию А. Г. Кочетков был среди воинов-освободителей. Участник советско-финской войны, принимал участие в штурме Выборга.
С началом Великой Отечественной войны, воинскую часть, в которой служил лейтенант А. Г. Кочетков, перебросили на Западный фронт. В боях под Смоленском он попал в окружение, но не сложил оружие. Собрав таких же, как сам, патриотов, А. Г. Кочетков объединил их в отряд, насчитывавший 35 человек, и начал партизанскую борьбу.
В ноябре 1941 года из разрозненных партизанских отрядов А. Г. Кочетков собрал и возглавил роту, вошедшую затем в крупное партизанское соединение.
В июне 1942 года оккупанты после длительных безуспешных попыток выбить партизан из леса вблизи Ямполя решили в нарушение международных соглашений применить артиллерию с газовыми снарядами. Выход был один — захватить город Ямполь и обезвредить опасное оружие.
Партизаны под командованием А. Г. Кочеткова в одном из боёв под селом Антоновка отвлекли на себя подразделения эсэсовского полка и разгромили их. Рота А. Г. Кочеткова первой ворвалась в Ямполь. Вскоре оккупанты в Ямполе были уничтожены. Смертоносные химические снаряды очутились в руках партизан и были обезврежены.
В октябре 1942 года партизаны по приказу командования выступили в рейд из Брянских лесов на Правобережную Украину. 7 ноября 1942 года они подошли к Днепру в районе города Лоев. Первой форсировала Славутич рота А. Г. Кочеткова. Переправившись через реку, партизаны захватили ряд населённых пунктов на правом берегу и в течение двух суток отражали атаки гитлеровцев. Благодаря мужественным действиям А. Г. Кочеткова переправа прошла успешно.
В ночь с 14 на 15 ноября 1942 года партизаны завязали бой с фашистским гарнизоном райцентра Хойники. Бой длился 14 часов и закончился победой партизан. Вражеский гарнизон был разгромлен, на улицах города осталось более 200 убитых гитлеровцев. В этом бою геройски погиб командир роты Алексей Гаврилович Кочетков.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 января 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования в борьбе против немецко-фашистских захватчиков в тылу противника и проявленные при этом отвагу и героизм Алексею Гавриловичу Кочеткову посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награждён орденом Ленина.
В белорусском городе Хойники на доме, близ которого проходил смертный бой, установлена мемориальная доска с фамилиями погибших. Именем Героя названа одна из улиц этого города.
5 мая 1965 года в Липецке Полтавская улица была переименована в улицу Кочеткова.