Родился 27 мая 1921 года в х. Фаpштат (ныне — в составе города Белая Калитва) Белокалитвинского pайона Ростовской области в семье служащего. Русский.
Детские годы прошли в г. Новочеркасске. Окончил среднюю школу в 1939 году.
В Советской Армии с 1940 года. В 1941 окончил Бакинское училище зенитной артиллерии. В боях Великой Отечественной войны с мая 1942. Член КПСС с 1943 года.
Батарея под командованием капитана Забронского 4 октября 1944 года на сероцком плацдарме на р. Нарев (Польша) вступила в бой с танками противника, прорвавшими оборону наших войск. Артиллеристы отразили 8 атак, подбили 5 танков и уничтожили до батальона гитлеровцев. Занятый рубеж был удержан. А. А. Забронский в этом бою погиб.
Похоронен в г. Вышкув (Польша).