Его отец — Апостоли, Николай Николаевич — также морской офицер, контр-адмирал.
Родился в 1897 году в Петербурге, в известной морской семье.
Учёбу начал в 1908 году кадетом 2-го кадетского корпуса в Санкт-Петербурге. После окончания обучения в кадетском корпусе Бориса Апостоли определили в общие классы Морского корпуса (1914?1916). В 1916 году был произведен в мичмана военного времени. В июне 1916 года Апостоли был зачислен слушателем «Захаровских» курсов при Петроградском Политехническом институте. 5 августа 1917 года он окончил теоретический курс гидроавиации. С августа 1917 по январь 1918 — был курсантом в Севастопольской и Симферопольской Школах морской авиации.
С конца февраля 1918 года Апостоли был инструктором противоштурмовой артиллерии в Петрограде. 2 марта 1918 года он был зачислен в списки Балтийского Флота с назначением в отдельный морской батальон. С этого времени началась его служба в Красном флоте:
С началом Великой Отечественной войны в ЧВВМУ прошли досрочные выпуски. С подходом немцев к Севастополю в конце лета 1941 года ЧВВМУ было эвакуировано в Ростов-на-Дону и в Северо-Кавказском военном округе была сформирована 76-я морская стрелковая бригада на основе курсантов Севастопольского ЧВВМУ, моряков Каспийской флотилии и Черноморской флота. 3 ноября 1941 года капитан 1-го ранга Апостоли был назначен командиром 76-й морской стрелковой бригады.
В действующей армии бригада находилась с февраля 1942 года по май 1943 года. Бригада участвовала в боевых действиях на юге страны. В марте 1942 года она приняла участие в наступательной операции с целью освобождения Таганрога и понесла большие потери.
19 мая 1942 года капитан 1-го ранга Апостоли был отозван с фронта и назначен заместителем начальника Каспийского ВВМУ им. С. М. Кирова в Баку.
25 июня 1943 года Приказом за № 0479 Наркома ВМФ СССР Кузнецова Н. Г. было сформировано Бакинское военно-морское подготовительное училище ВМФ. Первым начальником БВМПУ в июне 1943 года был назначен капитан 1-го ранга Апостоли Борис Николаевич, который оставался на этой должности до апреля 1945 года.