Окончил Серпуховскую детскую художественную школу, в 1940 году — Орловское художественное училище. В 1941 году ушёл добровольцем на фронт. Был связистом, минометчиком, художником в дивизионной газете. Рисовал портреты отличившихся солдат и офицеров.
С фронта Ю. К. Авдеев вернулся с тремя тяжёлыми ранениями, печальным результатом которых была почти полная слепота.
Инвалидность не помешала ему совершить главное дело своей жизни. В 1949 году он пешком по бездорожью добрался до Мелихова, где практически на пустом месте создал ныне знаменитый Государственный музей-заповедник А. П. Чехова.
С 1951 по 1987 год Ю. К. Авдеев был директором музея. Восстановил все строения, которые были при жизни Чехова. Собрал 17 тысяч экспонатов — вещей, документов, рукописей, фотографий, книг писателя, его окружения, его времени. Написал 12 книг о Мелихове и других чеховских местах в Подмосковье. Будучи почти слепым, обладал феноменальной памятью. Помнил наизусть рассказы Чехова, 12 томов его писем. Работал до самой смерти, наступившей в 1987 году.
Похоронен у левого придела церкви Рождества Христова в селе Мелихово.
Пейзажи Авдеева привлекают самобытностью, яркой индивидуальностью, свежестью и трепетностью восприятия природы, богатством и сочностью цветовых сочетаний. Для его живописи характерно изображение цветущего иван-чая.