Борис Александрович родился 3 февраля 1921 года в Воткинске в рабочей семье. После окончания школы фабрично-заводского обучения работал токарем на Воткинском машиностроительном заводе и мастером-инструктором в школе ФЗО № 2 города Воткинска.
В феврале 1943 года был призван в ряды Красной Армии. Принимал участие в освобождении Смоленска и Западной Украины, форсировании Десны и Западного Буга. Был награждён орденом Красной Звезды и медалью «За отвагу» за отличия этих боях.
Участвовал в освобождении Польши и форсировании Вислы. 29 июля 1944 года расчёт старшего сержанта Б. А. Смирнова первым переправился через Вислу и закрепился в районе населённого пункта Бжесце. Им удалось удержать плацдарм до переправы дивизии: расчёт отражал атаки неприятеля огнём орудия, а затем и гранатами, нанеся значительный урон гитлеровцам.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 февраля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, старшему сержанту Смирнову Борису Александровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 5189) .
После демобилизации в 1945 году Борис Александрович работал в родном Воткинске, потом поступил на службу в МВД Эстонской СССР и жил в посёлке Ахтме Кохтла-Ярвеского района. Умер 17 августа 1949 года. Похоронен в Кохтла-Ярве.