Родился в семье Андрея Ипполитовича Вилькицкого. Закончил Морской кадетский корпус (1904), в чине мичмана участвовал в русско-японской войне 1904—1905 гг. на кораблях эскадры Тихого океана. В 1908 г. окончил Николаевскую морскую академию по гидрографическому отделу (штурманская специализация). В 1908—1912 гг. выполнял ответственные гидрографические и геодезические работы на Балтийском море и на Дальнем Востоке.
В начале 1913 г. капитан 2-го ранга Вилькицкий назначен командиром ледокольного парохода «Таймыр» и помощником начальника гидрографической экспедиции Северного Ледовитого океана. Ледокольным пароходам «Таймыр» и «Вайгач» (командир — П. А. Новопашенный) предстояло выполнить съемку побережья и островов Северного Ледовитого океана, выявить возможности мореплавания по Северному морскому пути. Из-за внезапной болезни начальника экспедиции, полковника корпуса флотских штурманов И. С. Сергеева, морской министр в июле 1913 г. возложил руководство на Вилькицкого. В 1913 году экспедиция открыла Землю Императора Николая II (Северную Землю), остров цесаревича Алексея (Малый Таймыр) и Остров Старокадомского. В 1914—1915 годах совершил первое сквозное плавание по Северному морскому пути из Владивостока в Архангельск, открыв новый остров Новопашенного (ныне — Остров Жохова). Материалы и документы этой экспедиции были эвакуированы в Ярославль во время Великой войны и почти все погибли при варварском артиллерийском обстреле города частями Красной армии во время подавления антибольшевистского восстания в Ярославле.
В 1915—1917 годах Вилькицкий командовал эсминцем «Летун», участвовал в боевых действиях на фронтах Первой мировой войны на Балтийском море. В 1917—1918 годах капитан 1-го ранга Вилькицкий — дежурный офицер оперативного отделения Службы связи Балтийского флота. В июне 1918 г. он был назначен начальником гидрографической экспедиции Западно-Сибирского района Северного Ледовитого океана для обеспечения вывоза хлебных грузов в европейскую часть России.
Находился в распоряжении правительства Верховного управления Северной области, которое в 1919 году произвело Вилькицкого в чин контр-адмирала. При эвакуации войск Северной армии генерала Миллера из Архангельска 19—21 февраля 1920 г. руководил этой операцией, одновременно командуя ледокольным пароходом «Косьма Минин» с пассажирами на борту и буксируя яхту «Ярославна» в сопровождении ледокола «Канада». По пути в Норвегию в районе полуострова Рыбачий, приняв под свою команду ещё пароходы «Кильдин» и «Ломоносов», которые вышли из Мурманска, 26 февраля 1920 г. адмирал Вилькицкий привел корабли с военнослужащими Северной армии и беженцами в Норвегию. Преодолев при выходе из Архангельска ледовые поля и длительное преследование (с артиллерийским обстрелом) кораблями Красного флота, отряд адмирала Вилькицкого 26 февраля 1920 г. вошёл в фиорд порта Тромсё. После доставки генерала Миллера и пассажиров в Норвегию привел свой ледокольный пароход «Косьма Минин» и сопровождавшие его пароходы на Чёрное море, передав их в Крыму в состав Черноморского флота Русской армии генерала Врангеля.
В феврале 1920 г. эмигрировал в Англию, где жил и работал до 1922 г. Именем Вилькицкого были названы острова в море Лаптевых, открытые экспедицией Амундсена в 1919 году. Находясь за рубежом, Вилькицкий продолжал интересоваться проблемами русского Севера, высказал ряд конструктивных предложений по организации судоходства по так называемому Карскому морскому пути. В 1923—1924 по приглашению внешнеторговых организаций СССР участвовал в подготовке и проведении 3-й и 4-й Карских товарообменных экспедиций, был начальником морской части этих предприятий, обеспечил успешный переход больших групп транспортных судов и грузовые операции.
С 1925 года — вновь в Англии, где состоял на службе в частных судовладельческих компаниях. Затем переехал в Африку и трудился гидрографом в Бельгийском Конго. Умер в Брюсселе в 1961 году.
20 ноября 1996 года прах Бориса Андреевича Вилькицкого был перезахоронен на Смоленском кладбище Санкт-Петербурга рядом с могилами его отца Андрея Ипполитовича (1858—1913) и младшего брата Юрия Андреевича (1888—1905).
В честь Бориса Вилькицкого и его отца Андрея названы 9 топонимов на карте Арктики: Самый знаменитый из них пролив Вилькицкого между Таймыром и Северной Землей, а также залив в Баренцевом море, два мыса и ледник на островах Новая Земля, четыре острова (в Енисейском заливе, среди островов Де-Лонга, в заливе Терезы Клавенес и в архипелаге Норденшельда).