Родился в семье служащего.
В 1935 году окончил Московский горный институт по специальности горный инженер-экономист.
С 1935 года — помощник начальника участка, начальник участка шахты треста «Кизелуголь» (Пермская область).
С 1936 года — в тресте «Шахтантрацит» комбината «Ростовуголь»:
В 1942 году — районный инженер производственного отдела Наркомата угольной промышленности СССР.
С 1942 года — помощник заведующего секретариатом Управления делами Совета Народных Комиссаров СССР.
С 1943 года — начальник шахты.
С 1945 года — главный инженер треста «Шахтантрацит».
С 1949 года — главный инженер комбината «Карагандауголь».
С 1953 года — заместитель министра угольной промышленности СССР.
С 1957 года — председатель Каменского совнархоза.
В 1958 году — первый заместитель председателя Ростовского совнархоза.
С 1958 года — начальник отдела угольной, торфяной и сланцевой промышленности Госплана СССР.
С 1959 года — председатель Карагандинского совнархоза.
С 1961 года — заместитель Председателя Совета Министров Казахской ССР, председатель Госплана Казахской ССР.
С сентября 1965 года — Министр угольной промышленности СССР.
Депутат Верховного Совета СССР 6-11 созывов.
Член КПСС с 1940 года.
Член ЦК КПСС в 1971—1986 годах, (кандидат в 1966—1971).
С декабря 1985 года — персональный пенсионер союзного значения.
За большой вклад в развитие угольной промышленности и многолетний добросовестный труд Борису Федоровичу Братченко накануне его 90-летия объявлена благодарность от Президента Российской Федерации В. В. Путина.
Умер Братченко 2 октября 2004 года на 93 году жизни, похоронен в Москве.