Начал заниматься на тромбоне в самодеятельном духовом оркестре в 1932 г., в 1936 г. поступил в Свердловское музыкальное училище им. П. И. Чайковского, где его педагогами были А. Г. Волков и И. М. Жилинский и консультантом — В. И.Щёлоков. С 1938 г. начал работать в оркестре Свердловского театра оперы и балета им. А. В. Луначарского. В 1939 г поступил в Уральскую государственную консерваторию им. Мусоргского, но в связи с началом Великой отечественной войны был призван в армию. Служил на реке Халхин-Гол в артиллерийском полку мотострелковой дивизии. В 1942-47 гг. служил в Китае и Монголии, руководил музыкальной частью ансамблей песни и пляски 17-й армии и погранвойск в Монголии. Награждён орденом Красной Звезды, медалью «За победу над Японией» и другими медалями СССР.
С 1947 г. продолжил учёбу в Уральской консерватории, совмещая занятия на оркестровом и музыковедческом факультетах. Был учеником музыковеда доктора искусствоведения В.Д. Конен. С 1951 г. работал в Уральской консерватории на оркестровом и теоретическом факультетах, преподавал также в Свердловском музыкальном училище. Занимался изучением и популяризацией народного творчества и профессиональной музыкальной культуры Урала. Руководил джаз-оркестром. С 1950 г. начал печататься в прессе.
В 1960-68 гг. преподавал в Саратовской консерватории им. Собинова, был деканом, проректором по научной и учебной работе. С 1965 г. — доцент. Избирался ответственным секретарём Саратовского отделения Союза композиторов СССР.
С 1968 по 1974 г. работал в Донецком музыкально-педагогическом институте (проректором, ректором), печатался в музыкальной прессе Донецка, Киева. Вернувшись в 1974 г. в Саратов, до своей кончины Б. Г. Манжора преподавал на кафедрах истории музыки (в 1976-1987 г. был заведующим кафедрой) и духовых инструментов.
Более сорока лет продолжалась исполнительская и просветительская деятельность Б. Г. Манжоры, как тромбониста и музыковеда. В его классе подготовлено более двухсот учеников — тромбонистов, тубистов, музыковедов. Им опубликовано более трёхсот музыковедческих и методических работ, среди которых книги «Саратовский академический театр оперы и балета» (в 2-х томах), «Государственный уральский русский народный хор», издан ряд произведений для тромбона.