В 1899 году окончил Петербургский технологический институт.
За участие в революционном движении был осуждён в 1906 году на 1,5 года заключения.
С 1909 года начал работать преподавателем. В 1939 году согласился возглавить кафедру строительной механики Военного инженерно-технического университета в Санкт-Петербурге. Участвовал в обороне Ленинграда.
Консультировал проектирование и строительство крупных гидроэлектростанций (Волховская ГЭС, Днепрогэс и других) и теплоэлектростанций в СССР.
Лауреат Сталинской премии первой степени 1942 года. Награждён двумя орденами Ленина.
Борис Галёркин разработал методы решения дифференциальных уравнений теории упругости: его именем назван метод конечных элементов математического анализа, применяемый для численного и аналитического решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Один из создателей теории изгиба пластинок.
Методы Галёркина включают в себя: