Борис Христов родился 18 мая 1914 года в Пловдиве в семье болгарского общественика и национал-революционера Кирила Совичанова, выходец из Вардарской Македонии.
Певческий талант Христова проявился с детства, когда он вступил в хор собора Александра Невского. Однако он предпочёл заниматься пением в свободное время, избрав юридическую карьеру, не оставляя тем не менее выступления в хоре. Всё изменилось в 1942 году, когда его выступление в соборе услышал болгарский царь Борис III. Впечатлённый выступлением Христова царь назначил ему государственную стипендию и отправил на учёбу в Италию. В Италии он поступил на обучение к легендарному итальянскому баритону Риккардо Страччари. Обучение прервалось в 1943 после смены политического режима в Италии, после чего Христов вернулся в Болгарию. В 1944 году он отправился в Германию для изучения немецкого оперного репертуара, но в Австрии он был арестован и заключён в концентрационный лагерь. После освобождения Борис вернулся в Италию, продолжив обучение у Риккардо Страччари.
Профессиональный дебют Христова состоялся 28 декабря 1945 в академии Санта Чечилия в Риме, где он исполнил несколько произведений из итальянского и русского репертуара. Дебют на оперной сцене состоялся 12 мая 1946 года. Христов исполнил партию Коллена в «Богеме». С той поры и до окончания своей карьеры в 1986 году он с неизменным успехом выступал в различных оперных театрах мира.
Христов знаменит своими выступлениями в итальянском и русском оперных репертуарах, среди которых стоит особо отметить образы Бориса («Борис Годунов»), Филипа II («Дон Карло»), Мефистофеля («Фауст» Гуно и «Мефистофель» Бойто), Аттилы («Аттила»), Фиеско («Симон Бокканегра»), Досифея («Хованщина») и многими другими. Не менее известен Христов своим глубоким исполнением церковной музыки.