Борис Богаевский — выходец из дворянской семьи, родился в Петербурге, в ?семье действительного статского советника. После окончания 10-й петербургской гимназии поступил на первый курс классического отделения историко-филологического факультета Санкт-Петербургского университета. В 1907 году с отличием окончил его, ему был вручён диплом 1-й степени, и способный выпускник был оставлен в университете для подготовки к профессорскому званию.
Сразу после окончания университета Богаевский отправился обучаться за границу и в течение двух с половиной лет он посещал лекции ведущих антиковедов Германии, Италии и Греции, а также европейские музеи. В 1916 году в Петрограде был издан первый том его монографии «Земледельческая религия Афин». 14 мая 1916 года Б. Л. Богаевский защитил его в качестве магистерской диссертации на публичном собрании своего факультета.
В июне 1916 года Богаевский приступил к работе в качестве приват-доцента Пермского университета. С октября 1917 года — декан историко-филологического факультета Пермского отделения Петроградского университета. Проработав в Пермском университете три года и успев организовать из частных коллекций, подаренных университету, «музей древностей», Борис Леонидович покидает университет и летом 1919-го оказывается в Томске, где продолжает преподавательскую деятельность. В июне 1920 года он заступает на должность профессора по кафедре античного мира этнолого-лингвистического отделения ФОН Томского университета. С января 1921 по 25 июня 1922 был ректором Томского университета. В 1922 году ФОН был закрыт, и большая часть профессорского состава университета, в том числе и Богаевский, вернулась в Петроград. С 1922/1923 учебного года Борис Леонидович становится профессором и заведующим кафедры истории материальной культуры ФОН Петроградского (в дальнейшем Ленинградского) университета. В ЛГУ Богаевский читал лекции по истории, искусству и религии античного мира.
Умер в блокадном Ленинграде в 1942 году.