Родился 23 ноября 1820 года в семье Петра Ивановича и Софьи Васильевны Обуховых, представителей дворянского рода, в родовом имении Павловка Самарской губернии.
Учился в Царскосельском лицее, но не окончил его.
8 марта 1838 года поступил на службу канцеляристом в канцелярию пензенского губернатора. В октябре 1841 г. Б. П. Обухов получил чин коллежского регистратора. 6 июня 1843 г. Бориса Петровича назначили почётным смотрителем Саранского уездного училища. 5 августа 1848 г. Б. П. Обухова перевели почётным смотрителем Самарского уездного училища, вручив чин коллежского секретаря. В 1856 году избран уездным предводителем дворянства в Бузулуке. Представлял в 1859 ? 1860 годах самарское дворянство в столице. На выборах 25 января 1861 года на 4-м самарском дворянском собрании Бориса Петровича избрали самарским губернским предводителем дворянства, губернское земство он возглавлял до 1865 г.
На протяжении всей жизни в Самаре Б. П. Обухов занимался благотворительностью.
В 1849 году Борис Петрович пожертвовал на Самарское уездное училище 200 рублей. Обухов ещё три года платил по 150 рублей за наем каменного дома для нужд училища. За это Борису Петровичу 8 июня 1849 году объявили благодарность от министра народного просвещения.
Из-за сильного пожара 13-16 июня 1850 года училище в течение двух лет было закрыто. Только в 1852 году для училища наняли верхний этаж каменного дома мещанина Чайникова за ежегодные 300 рублей. Обухов обязался дать 450 рублей за три года, и 12 марта 1852 года училище было открыто.
Также Борис Петрович помог Самаре обзавестись Струковским садом, то есть собственным общественным садом.
В 1856—1857 годах на деньги Обухова работало училище для девиц.
Борис Петрович Обухов активно содействовал подготовке и проведению крестьянской реформы 1861 г., отстаивал в положениях будущей реформы идею освобождения крестьян. Обухова наградили 17 апреля 1861 года серебряной медалью за труды по освобождению помещичьих крестьян, а 17 августа 1863 года — знаком отличия за введение Положения об отмене крепостного права 1861 г.
30 августа1865 года Бориса Петровича Обухова назначили самарским губернатором. Первые месяцы губернаторства Бориса Петровича отмечены волнениями удельных крестьян в Николаевском, Ставропольском уездах. Они не хотели выкупать земли, требовали дарственного надела. Коллективная порка не имела успеха. И только когда у крестьян стали отбирать скот, их удалось утихомирить.
В ноябре 1865 года Обухов распорядился открыть при губернском правлении сберегательную кассу.
4 апреля 1866 года на императора неудачно покушался Д. Каракозов. По коллективной инициативе, в которой участвовал губернатор, 17 апреля на площади освятили место для строительства кафедрального собора в честь священного избавления императора Александра II от покушения.
Заботясь о связи Самарской губернии с другими регионами России, Б. П. Обухов стал одним из авторов идеи строительства Самарско-Оренбургской железной дороги, являлся председателем общества дороги с её открытия до своей смерти.
В октябре 1866 года Б. П. Обухова перевели в Псков, а затем он возглавлял Пермскую губернюю. В 1870 году переведен в Санкт-Петербург, где стал сенатором и вторым товарищем министра внутренних дел, получив титул тайного советника.
Скончался после долгой болезни в Санкт-Петербурге 23 июня 1885 года.
За активную реформаторскую деятельность Б. П. Обухов удостоился многих наград: орден св. Станислава 1-й и 2-й степени, св. Анны 1-й степени, св. Александра Невского, получил почётное звание камергера Двора Его Императорского Величества.