Сын крестьянина. Образование получил в Ленинградском институте инженеров железнодорожного транспорта. С 1919 работал на телеграфе, в 1924—1930 годах — на профсоюзных должностях Самаро-Златоустовской железной дороги.
С 1944 — заместитель наркома и начальник управления движения НКПС. С 1946 первый заместитель министра, а с 1948 — министр путей сообщения СССР. Были решены сложнейшие вопросы технического перевооружения железнодорожного транспорта: электрификация железных дорог, модернизация подвижного состава, переход на тепловозную и электрическую тягу.
Активно участвовал в жизни газеты «Гудок», был в тёплых отношениях с журналистом В. Д. Дранниковым.
С января 1977 персональный пенсионер союзного значения. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище. Его именем назван электровозоремонтный завод в Ярославле.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 августа 1959 года за выдающиеся успехи, достигнутые в развитии железнодорожного транспорта, Бещеву Борису Павловичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и Золотой медали «Серп и молот».
Генерал-директор 1-го ранга (29.07.1945). Награждён 7 орденами Ленина (в том числе 23.11.1939, 29.07.1945, 1.08.1959, 15.07.1963), 2 орденами Октябрьской Революции (13.07.1973, 14.01.1977), орденом Трудового Красного Знамени (24.11.1942), медалью «За трудовую доблесть», другими медалями.