Борис Грабовский родился 26 мая 1901 года в Тобольске, в семье ссыльного украинского поэта-революционера Павла Арсеньевича Грабовского и Анастасии Николаевны Гутовской. После смерти отца в ноябре 1902 года мать Бориса Грабовского с сыном и со своей матерью переехала в Одессу, а затем в Харьков, а ещё позже перебралась в Среднюю Азию. В начале 1917 года Грабовские поселились в киргизском селении Токмак.
Борис Грабовский добровольцем вступил в Красную армию. Служил первоначально в первой, а затем четвёртой легкой туркестанской батарее, проучился в Ташкенте в Ташкентской совпартшколе, после окончания её служил в составе частей особого назначения (Пешпекский ЧОН). После демобилизации из армии Борис Грабовский уехал в Ташкент. Работал сначала в Таштраме обмотчиком проводов, а затем поступил на работу лаборантом в лабораторию физико-математического факультета Средне-азиатского университета (САГУ).
Весной 1924 года уехал в Саратов к сестре матери Сусанне Семененко. Желая продолжать своё образование, Борис Грабовский начал брать частным образом уроки у саратовского физика Н. Г. Пискунова. После того, как он подружился со своим преподавателем и рассказал ему о своих идеях, они стали работать вместе над изобретениями в сотрудничестве с молодым инженером-радистом В. И. Поповым". Осенью 1926 года Грабовский с соавторами уехал для дальнейшей работы в Ташкент, так как не смог найти работу и жильё в Саратове.
Считается, что 26 июля 1928 года в Ташкенте Б. П. Грабовскому впервые в мире удалось передать по радио, без проводов, движущееся изображение с помощью полностью электронной системы телевидения. Специальной комиссией в официальном протоколе зафиксировано, что 26 июля 1928 года был произведен опыт с приборами для передачи движущихся изображений на расстояние и хотя изображение было низкокачественным и с помехами, все же в нём можно было узнать одного из помощников Грабовского, а именно — Ивана Филипповича Белянского. Таким образом, как писал позже в автобиографии сам Грабовский, первым переданным по телефоту изображением было изображение И. Ф. Белянского; первым изображением женщины, переданным по телефоту — изображение Л. А. Грабовской (жены Бориса Павловича). Сам автор изобретения назвал эту систему «Телефотом». Система содержала также усилители на электронных лампах, генераторы развертывающих напряжений, устройства синхронизации. По своим основополагающим идеям система была близка к современным схемам телепередачи изображений. Б. П. Грабовский также выступал с публичными лекциями и докладами о своём изобретении в Ташкенте и других городах СССР.
В Центральном государственном архиве (ЦГА) Республики Узбекистан имеется достаточно подробная подборка документов, свидетельствующая о серьёзном вкладе Б. П. Грабовского в развитие телевидения.
Следует отметить, что некоторые серьезные современные исследователи истории науки ставят приоритет изобретения телевидения Б. П. Грабовским под сомнение.
Указом Президиума Верховного Совета Узбекистана от 21 октября 1965 года Борису Павловичу Грабовскому присвоено почётное звание «Заслуженный изобретатель УзССР».
Умер и был похоронен Борис Грабовский в 1966 году в столице Киргизии — городе Фрунзе, ныне Бишкек.
Технические дневники, в которых Грабовский фиксировал все свои опыты, по сведениям из одних источников таинственным образом пропали, а затем через много лет оказались воспроизведены вплоть до мелчайших деталей в различных частях романа Митчела Уилсона «Брат мой, враг мой». По сведениям из других источников документы Грабовского не исчезли «таинственно». Их не вернули ему в Москве из ЦБРИЗ (центрального бюро рационализации и изобретательства) ВСНХ СССР. В числе этих документов были папки с чертежами, схемами и расчётами, а также рукопись «Энциклопедия телефотии».