Родился в семье еврея-сапожника, умершего, когда мальчику было 4 года. Старший брат обучил Борю танцам, и выступления он, по собственным воспоминаниям, начал на Еврейском базаре перед собиравшимися там уголовниками. После побега из дома был исключен из школы. В 1937—1941 учился в Киевском хореографическом училище, одновременно танцевал в Ансамбле народного танца УССР. С 15 июня 1941 года в составе Ансамбля песни и пляски Киевского военного округа. Участник Великой Отечественной войны. Имеет боевые награды: медаль "За оборону Сталинграда" и медаль "За боевые заслуги" (согласно наградному листу - за отличное исполнение комических танцев, приказ от 25.10.1943 № 18/н). В приказе о награждении значится как Сичкин Борис Моисеевич, данные общедоступного электронного банка документов «Подвиг Народа в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.». В 1941—1946 — во фронтовом ансамбле, в 1947—1948 солист Ансамбля песни и пляски Советской Армии им. А. В. Александрова, в 1948—1966 артист Москонцерта. С 1955 работал в ансамбле литературной и театральной пародии «Синяя птичка» под рук. В. Ю. Драгунского, исполнял интермедии, был автором текстов, балетмейстером. Участвовал в работе «закулисного» театра «Крошка» (ЦДРИ), джаз-оркестра Эдди Рознера. Балетмейстер многих эстрадных номеров и программ. Славу ему принесла роль куплетиста Бубы Касторского в фильмах Эдмонда Кеосаяна "Неуловимые мстители" и "Новые приключения неуловимых".
В 1973 в Тамбове был посажен в тюрьму по сфабрикованному делу о хищении государственного имущества в крупных размерах. Через год был освобождён. Следствие продолжалось ещё несколько лет. В конце концов Борис Сичкин был окончательно оправдан.
В 1979 уехал в США. Последние годы он провел в доме для семей с невысокими доходами в нью-йоркском районе Квинс. Член редколлегии нью-йоркской газеты на русском языке «Русский базар». В 1994 впервые после эмиграции приехал в Россию. Снимался в нескольких фильмах. Умер 21 марта 2002 года от инфаркта в своей квартире в Нью-Йорке. Вскоре по желанию его жены прах Бориса Сичкина был извлечён из могилы и кремирован, а урна перевезена в Москву и 6 лет хранилась у друзей семьи Сичкиных. Лишь 18 апреля 2008 года прах был захоронен. Прощание прошло в Доме кино, а затем урна с прахом была помещена в колумбарий Ваганьковского кладбища.
Автор автобиографических книг: «Я из Одессы! Здрасьте!» и «Мы смеёмся, чтобы не сойти с ума».
Жена — танцовщица Галина Рыбак, сын — Емельян.