Родился в Москве. Окончил Московский индустриальный техникум, но очень скоро у него обнаружились незаурядные способности художника. В 1932 году Давыдов выиграл конкурс художников карикатуристов, а в 1934 году Давыдов закончил курсы художников-карикатуристов при журнале «Крокодил» В 1937 году поступает на курсы художников-мультипликаторов, при студии «Союзмультфильм» и долгие годы работает художником мультипликатором с ведущими режиссёрами Полковниковым, Бабиченко, Ивановым-Вано, Пащенко и другими.
В 1956 году состоялся дебют Романа Давыдова режиссёра. Сначала в кукольном фильме «Колобок» (1956). В 1958 году — «Три медведя». В 1966 году Давдыдов начал работу фильмом по «Книге джунглей» Редьярда Киплинга. В 1967—1971 годах вышел сериал из пяти частей «Маугли», ставший этапной работой для всей студии «Союзмультфильм» заслужившим высокую оценку коллег и любовь зрителей. Большую известность также получили работы Давыдова в жанре исторических и сказочных мультфильмов «Детство Ратибора», «Лебеди Непрядвы», «Сказ о Евпатии Коловрате».
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1980). Преподавал на курсах обучения и повышения квалификации художников-мультипликаторов.