Родился 23 февраля (8 марта) 1910 года в Тифлисе, (ныне - Тбилиси).
В 1934 году закончил ГИТИС в Москве.
В 1939—1964 преподавал в Грузинском театральном институте.
Д. А. Алексидзе умер 4 декабря 1984 года в Тбилиси.
Сын — Алексидзе, Георгий Дмитриевич (1941—2008), хореограф и балетмейстер.
Работал в Тбилисском театре имени Руставели (1936—1964). В 1959—1964 годах его главный режиссёр.
Постановки: «Хозяйка гостиницы» К. Гольдони (1939), «Брак по объявлению» К. Гольдони (1942), «Герои Крцаниси» С.И. Шаншиашвили (1943), «На всякого мудреца довольно простоты» А. Н. Островского (1944), «За тех, кто в море» Б. А. Лавренёва (1946), «Глубокие корни» Гоу и д’Юссо (1947), «Первый шаг» по А. Р. Церетели (1948), «Николоз Бараташвили» Мревлишвили (1949), «Семья» Попова (1950), «Папо» Сундукяна (1951), «Васса Железнова» М. Горького (1954), «Царь Эдип» Софокла (1956), «Кваркваре Тутабери» Какабадзе (1959), «Бахтриони» Гачечиладзе (1960).
В 1964 году был приглашен на Украину, где работал до 1971 и поставил ряд спектаклей в различных театрах Киева.
В КУАДТ имени И. Я. Франко: «Антигона» Софокла (1965), «Патетическая соната» Кулиша (1966), «Память сердца» А. Е. Корнейчука (1969), «Правда» А. Е. Корнейчука (1970).
В театре имени Леси Украинки: «Брак по объявлению» Гольдони (1967), «Разлом» Лавренёва (1967).
В театре оперы и балета имени Шевченко: «Отелло» Дж. Верди (1968).
В 1968—1971 профессор Киевского института театрального искусства.
В 1971 возвратился в Грузию — главный режиссёр Тбилисского театра имени Марджанишвили (1971—1984).
В постановках режиссёр тяготел к монументальным формам, эпическому размаху, новаторской переработке античных произведений, грузинской, украинской и русской классики.