В 2010 году в составе сборной России выиграл серебро чемпионата мира в Германии.
Родился в Липецке в семье Ирины и Владимира Куликовых. Владимир, сам в прошлом хоккеист, в 3 года поставил на коньки своих детей — Дмитрия и его сестру-близнеца Алину. До 5 лет будущий хоккеист занимался фигурным катанием, после чего отец перевёл его в хоккейную секцию, несмотря на то, что возрастной порог для занятий в ней — 7 лет. Дмитрий выделялся среди других юных хоккеистов, хоть и будучи младше них на 2 года.
До 12 лет Куликов занимался хоккеем в Липецке под руководством тренера Юрия Кровопускова, но затем переехал в Ярославль и год тренировался в спортивном интернате. Однако ярославские тренеры таланта Дмитрия не увидели и в конце сезона расстались с ним, посчитав бесперспективным. Куликов оказался в детской команде «Русь», в которой привлёк к себе внимание тренеров юношеской и молодёжной сборных.
Вскоре Куликов вернулся в Ярославль в качестве игрока фарм-клуба местного «Локомотива». Шансов пробиться в основную команду ярославцев у Куликова было мало, и в 2008 году он уехал в Канаду, в клуб QMJHL «Драммонвиль Вольтижерс». Уже в своём первом сезоне, Куликов набрал 62 очка (12 шайб и 50 результативных передач) и получил сразу две индивидуальные награды — лучшему новичку и лучшему защитнику лиги, а его клуб стал обладателем Президентского кубка.
Дмитрий стал единственным россиянином, выбранным в первом раунде Драфта 2009 года. Под 14-м общим номером он был задрафтован клубом «Флорида Пантерз». По словам руководителя юниорского отдела «Флориды» Скотта Люса, Куликов мог усилить команду уже в сезоне 2009—10. После 9 матчей, проведённых Куликовым в НХЛ, «Флорида» могла ещё на сезон оставить защитника набираться опыта в «Драммонвиле», однако этого не сделала, и в итоге россиянин остался в команде. Сам Дмитрий заявил, что игра в НХЛ — его мечта и в КХЛ он выступать не будет.
2 октября 2009 года дебютировал за «Пантерз» в матче против «Чикаго». Россиянин быстро вписался в игру «Флориды» и весь свой первый сезон не покидал расположение команды. Куликов провёл 68 матчей, в которых набрал 16 очков. Команда Дмитрия провела сезон невыразительно, заняв 28-е место в регулярном чемпионате. Итогом удачного года для Дмитрия стал вызов в основную сборную на чемпионат мира 2010 года и хвалебные отзывы специалистов, не ждавших от защитника такого быстрого прогресса.
Первыми крупными международными турнирами Куликова были чемпионаты мира среди юниоров 2007 и 2008 года, на которых россияне выиграли золотую и серебряную медали. Куликов провёл 7 матчей на первенстве 2007 года, 6 — 2008 гола, набрав 4 и 2 очка соответственно. В 2009 году Дмитрий стал бронзовым призёром Молодёжного чемпионата мира.
Удачно проведённый Дмитрием дебютный сезон в НХЛ привлёк к нему внимание и тренеров основной сборной. Защитник «Флориды» сыграл на заключительном этапе Еврохоккейтура «Хоккейные игры LG», позже был включен в расширенный, а затем и в окончательный состав сборной на чемпионат мира в Германии. На первенстве Куликов, самый юный игрок в команде, сыграл 9 матчей и отдал 2 результативные передачи. Сам же чемпионат завершился для российской сборной неудачно — несмотря на то, что букмекеры считали россиян явными фаворитами, в финале команда Быкова уступила сборной Чехии.
На площадке Куликов выделяется умением действовать и в обороне, и в атаке, грамотной игрой в большинстве, и сильным щелчком. Игрок своей сильной стороной считает универсальность.
Из-за силовой манеры игры западные СМИ сравнивают Куликова с Сергеем Гончаром и Андреем Марковым.