Родился в 1857 году. В 1878 году окончил Военно-морскую академию США. Служил на Тихом океане на кораблях Lackawanna, Alaska, Pensacola и Ranger. В 1893—1896 и 1899—1900 годах служил в военно-морской академии. Участвовал в Испано-американской войны офицером броненосца Massachusetts.
В 1905—1907 годах командовал канонерской лодкой Yorktown на Тихом океане. В 1909—1915 — командир броненосцев Virginia, Florida, Wyoming. Был также членом комиссий по взрывчатым веществам и по бездымному пороху. В 1916 — начальник верфи в Вашингтоне.
В 1917 был отправлен в Россию в составе специальной дипломатической миссии Рута. В июне 1917 прибыл в Севастополь, где встречался с командующим Черноморским флотом Колчаком. Когда Колчак оставил ЧФ и выехал в Петроград, он ехал в одном поезде с Гленноном. Впоследствии при посредничестве Гленнона Колчак был приглашён в США американским правительством.
После возвращения из России командовал 5-й дивизией линкоров. В 1921 году вышел в отставку, достигнув предельного возраста. Умер в 1940 году.
В честь Гленнона было названы два эсминца ВМС США.