Джюнейт Чакыр начал карьеру футбольного судьи в 1997 году с обслуживания матчей третьего дивизиона чемпионата Турции. В 1999 году он стал работать во втором дивизионе. 29 сентября 2001 года Чакыр дебютировал в высшем турецком дивизионе на матче «Малатьяспор» ? «Ризеспор». После этого он стал судить матчи исключительно высшей турецкой Суперлиги. В 2003 году он стал арбитром УЕФА, дебютировав в качестве резервного судьи на матче «Сконто» ? «Слима Уондерерс».
В 2006 году Чакыр стал арбитром ФИФА. Через год он судил встречи чемпионата Европы до 19 лет, проведя 2 игры. В сезоне 2008/2009 Джюнейт дебютировал в еврокубках, работая на матче Кубка УЕФА «Шальке-04» ? «Твенте». В 2009 году он работал на полуфинале молодёжного чемпионата Европы. 29 апреля 2010 года он провёл полуфинал Лиги Европы «Фулхэм» ? «Гамбург».
29 сентября 2010 года Джюнейт дебютировал в Лиге чемпионов на матче «Рубин» ? «Барселона». В следующем своём матче в Лиге чемпионов Чакыр также обслуживал встречу с участием российской команды, в ней «Челси» принимал «Спартак».