23 сентября 1933 года поступил на службу в ВМФ кадетом. 1 июля 1934 года произведен в фенрихи, 1 октября 1936 года — в лейтенанты. После службы на легком крейсере «Кёнигсберг» в январе 1938 года переведён в подводный флот.
Служил вахтенным офицером на подводных лодках U-10 и U-37. С 20 апреля по 25 ноября 1940 года командовал учебной лодкой U-120. С 22 марта 1941 года командир лодки U-126 (Тип IX-C). На этой лодке Бауэр совершил 5 боевых походов (проведя в море в общей сложности 391 сутки). Районом действий Бауэра были воды у побережья Африки и Карибское море.
16 марта 1942 года награждён Рыцарским крестом Железного креста. Командовал лодкой до 28 февраля 1943 года, когда был назначен офицером по учебной подготовке 27-й флотилии подводных лодок.
Всего Бауэр потопил 25 судов общим водоизмещением 118 660 брт и повредил 4 судна водоизмещением 31 304 брт.
С октября 1944 года командир 27-й флотилии подводных лодок, а в последние дни войны — 26-й флотилии.
В 1955 году поступил на службу в ВМФ ФРГ, где занимал штабные посты. В 1972 году вышел в отставку в чине капитана 1-го ранга.