Родился в городе Звенигород Московской области. Русский . Окончил гражданский технический ВУЗ и Краснознамённый институт КГБ СССР. В органах Комитета государственной безопасности СССР с 1971 года. В 1974 году переведён в Первое главное управление КГБ СССР (внешняя разведка). Известно, что Е. Муров три с половиной года находился в служебной командировке в одной из стран Юго-Восточной Азии.
С 1992 по 1997 годы занимал должности начальника ряда районных подразделений Министерства безопасности — Федеральной службы контрразведки — Федеральной службы безопасности Российской Федерации в Санкт-Петербурге, в частности возглавлял Адмиралтейский райотдел ФСБ. С 1997 года — заместитель начальника Управления ФСБ РФ по Санкт-Петербургу и Ленинградской области. В 1998 году переведен в центральный аппарат ФСБ РФ, назначен первым заместителем начальника Департамента экономической безопасности ФСБ РФ.
С 18 мая 2000 — руководитель Федеральной службы охраны (ФСО) Российской Федерации. Указом Президента Российской Федерации в 2004 году Е. А. Мурову присвоено воинское звание генерал армии. Впервые в истории советских и постсоветских спецслужб главе службы охраны присвоено столь высокое звание. Стремительным является и сам рост Е. А. Мурова в воинских званиях, поскольку в момент его назначения директором ФСО в 2000 году он находился в звании генерал-майора.
С 15 ноября 2010 в отставке (Указ Президента РФ N 1421 от 15 ноября 2010 года).
О деталях биографии Е. Мурова практически нет информации. Известно, что он в молодости занимался боксом, имеет спортивные достижения и разряды. Несколько лет Муров был главой Попечительского совета Федерации бокса России. 27 июня 2007 года избран Президентом Федерации бокса России. В ноябре-декабре 2009 подал в отставку с поста президента Федерации бокса России и возглавил Высший наблюдательный совет ФБР. Также является членом попечительского совета Всероссийского физкультурно-спортивного общества «Динамо».
Женат. Сын Андрей Евгеньевич Муров, с 2005 года — генеральный директор ФГУП «Аэропорт Пулково».
Награждён орденом «За заслуги перед Отечеством» III степени.