Начинал карьеру в команде высшего дивизиона Казахстана «Есиль-Богатырь», также один сезон провёл в первой лиге, выступая за петропавловский «Авангард». В 2009 году перешел в «Актобе». В конце 2011 решил сменить клуб, к Евгению проявляет интерес алматинский «Кайрат» и павлодарский «Иртыш». В 2012 году подписал контракт с костанайским «Тоболом».
В сборной Казахстана футболист провёл 9 матчей. Дебют Евгения Аверченко в сборной состоялся 6 июня 2009 года в игре против сборной Англии, в которой он отыграл 72 минуты и был заменён. Уже через четыре дня он снова вышел на поле, правда на этот раз выйдя на замену за 16 минут до конца матча.