В 1962 году закончил физико-математический факультет Ростовского государственного университета.
С 1962 года работал в Институте биологической физики АН СССР. Занимался исследованиями в области фотохимии белка, в частности, механизмов фотоокисления ароматических аминокислот, изучал фотохимию зрительных пигментов. По результатам этих работ в 1968 году защитил диссертацию на соискание степени кандидата физ.-мат.наук. С 1980 года возглавлял Лабораторию биофизики рецепции.
В 70-е годы занимался изучением молекулярных механизмов фоторецепции и обонятельной рецепции. Показал медиаторную роль циклического гуанозинмонофосфата в возбуждении фоторецетора, объяснил низкий уровень шума фоторецепторной клетки, позволяющий детектировать отдельные кванты света. Выделил и охарактеризовал мембранные гликопротеиды с высоким сродством к пахучим веществам, определил их субъединичное строение.
В 1979 году защитил диссертацию на соискание степени доктора биологических наук на тему: "Первичные процессы рецепции запаха и света".
Совместно с сотрудниками выделил и идентифицировал антиоксидант - секреторный 28 кДа пероксиредоксин, защищающий клетки от активных форм кислорода. С 1983 года - заместитель директора, а с 1987 года по 1990 год - директор Института биологической физики АН СССР. С 1991 года - директор Института биофизики клетки.
В последние годы им проведен цикл работ, объясняющих природу регуляции ионных каналов под действием ЭМИ и открывающих возможности для определения последовательности событий от поглощения квантов ЭМИ до генерации клеточного ответа.
Автор и соавтор более 200 публикаций. Материалы работ Е.Е.Фесенко вошли в учебники по биофизике и молекулярной биологии. Под руководством Е.Е.Фесенко выполнено три докторских и пятнадцать кандидатских диссертаций.
С 1987 г. по настоящее время - Главный редактор журнала "Биофизика", член редколлегии журнала "Физико-химическая биология и медицина". С 1987 по 1993 гг. член комиссии IUPAB, сопредседатель комиссии по биофизике IUPAB. С 1987 г. по настоящее время - зам. председателя Научного совета РАН по биофизике РАН. Председатель специализированного совета по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте биофизики клетки РАН. С 1997. по 2001 гг.- зам. председателя президиума Научного центра биологических исследований РАН. Е.Е.Фесенко возглавляет Учебно-научный центр "Биология клетки" в Пущинском ГУ.
Награжден орденом "Знак почета" и медалями, среди которых медаль "За заслуги перед Отечеством" II степени, отмечен медалью "2000 выдающихся людей столетия" (фонд Кембриджа).