Е. К. Тикоцкий родился 14 (26) декабря 1893 года в Санкт-Петербурге в семье с польскими корнями.
Его музыкальное образование ограничивалось двумя годами частных уроков фортепиано и теории музыки у Волковой-Бонч-Бруевич, композиции он обучался самостоятельно. Начал сочинять в возрасте 14 лет, консультируясь у своего друга Владимира Дешевова, учившегося в Петербургской консерватории. По настоянию отца Тикоцкий в 1914 году поступил в Петроградский университет, где изучал физику и математику.
В 1915 году ушёл на фронт, в 1919—1924 годах служил в РККА. После окончания службы переехал в Бобруйск, где преподавал в музыкальной школе. К этому времени относятся первые контакты Тикоцкого с белорусской народной музыкой, повлиявшей на его сочинения. Первое крупное сочинение композитора — Симфония (1924—1927), написанная с использованием белорусских народных и революционных тем, стала одним из первых произведений в этом жанре в истории белорусской музыки. К этому периоду также относится музыка к ряду театральных постановок в Минске, куда через некоторое время перебрался и сам композитор. В столице Белоруссии Тикоцкий работал на радио и занимался преподавательской деятельностью. В 1939 году он пишет одно из самых известных своих сочинений — оперу «Михась Подгорный» (одна из первых белорусских опер в истории). Другая известная патриотическая опера Тикоцкого — «Алеся» — была поставлена лишь в 1944 году, после освобождения Минска от фашистских захватчиков. В годы войны композитор находился в эвакуации сначала в Уфе, затем в Горьком. По возвращении в Белоруссию Тикоцкий стал руководителем оркестра Белорусской государственной филармонии и председателем белорусского отделения СК СССР.
Тикоцкий — один из основоположников белорусской композиторской школы. Его сочинения, написанные в классической и романтической манере, испытывают сильное влияние народных мотивов. Один из первых белорусских композиторов, сочинявших оперы и симфонии, он сыграл важную роль в развитии белорусской музыкальной культуры XX века.
Е. К. Тикоцкий умер 24 ноября 1970 года. Похоронен в Минске на Восточном кладбище.