В 1998 году Новиков впервые пробует свои силы в автоспорте, в классе «мини-багги». С 2000 года участвовал в соревнованиях по картингу. В 2001 году стал победителем Кубка России по картингу в классе «Мини», в 2003 и 2004 — чемпионом России по картингу в классе «Интерконтиненталь-А-Юниор». В 2003 году принял участие в нескольких раллийных гонках в качестве штурмана у своего отца — Максима Новикова. В 2004 году участвовал в международных картинговых гонках в Бельгии, Португалии, Италии.
Занял 3-е место в чемпионате России в классе «Формула Русь». Принимал участие в гонках чемпионатов Италии и Франции по картингу.
В 2006 году Новиков сам сел за руль раллийного автомобиля и одержал победу в своей первой гонке — на Ралли Вятка, первом этапе Кубка России. Интересно, что на старт этой гонки Евгений был допущен специальным решением Совета Российской автомобильной федерации, так как на тот момент ему было 15 лет, и обычных водительских прав у Новикова не было. Поэтому на во время перегонов по дорогам общего пользования, где действуют правила дорожного движения, за руль автомобиля Subaru Impreza вместо Евгения садился его опытный штурман Владислав Стребков.
По итогам сезона Евгений Новиков стал обладателем Кубка России по ралли. Также участвовал в чемпионате России по ралли, занял в личном зачете 8-е место. Продолжал участие в картинговых соревнованиях за границей.
В чемпионате России по ралли Новиков одержал 4 победы, набрал 80 очков и по итогам сезона занял 2-е место. Также он участвовал в чемпионате Эстонии по ралли, по итогам которого занял 2-е место.
В конце 2007 года Евгений Новиков дебютировал в Чемпионате мира по ралли (WRC). Вместе с штурманом Алесеем Аксаковым за рулем автомобиля Subaru Impreza WRX STi они приняли участие в «Ралли Уэльса» в Великобритании. Финишировать экипаж не смог.
В 2008 году Евгений Новиков принял участие в шести этапах серии Production World Rally Championship, гонки которой проходят параллельно с гонками «основного» чемпионата WRC. Три первых этапа Новиков ездил в паре с россиянином Дмитрием Чумаком, остальные 3 этапа — в паре с штурманом из Австралии Дейлом Москеттом. Четыре гонки закончились сходом. Успешным для Новикова стало «Ралли Японии», по ходу которого он уверенно лидировал и лишь на последнем спецучастке из-за проблем с подвеской уступил первое место и стал вторым. По итогам сезона Новиков занял 13-е место. Все гонки кроме первой, он провёл на автомобиле Mitsubishi Lancer Evo IX, первую гонку «Ралли Аргентины» — за рулем автомобиля Subaru Impreza WRX STi.
На 2009 год Новиков заключил контракт на выступление в чемпионате мира по ралли (WRC) с командой Citroen Junior Team — молодежным проектом заводской команды Citroen. На ралли Сардиния Новиков, заняв 5-е место, стал первым россиянином, набравшим очки в зачёт чемпионата мира по ралии за всю историю. Кроме того, он стал самым молодым гонщиком в истории чемпионатов мира, показавшим лучшую скорость на одном из этапов.
В 2010 году Новиков не принимал участие в WRC. В ноябре он объявил о завершении карьеры автогонщика.
В конце января 2011 было объявлено о том, что Евгений Новиков будет в сезоне 2011-года выступать в WRC на автомобиле Ford Fiesta RS WRC за дочернюю заводскую команду.
Начал сезон Евгений Новиков на Ралли Мексики (2-й этап чемпионата), и сразу же стал показывать хорошие результаты. После 12-го спецучастка он занимал пятое место в общем зачете, уступая только пилотам заводских команд. При том, что в отличие от остальных пилотов, Евгений ехал по этой трассе впервые, но из-за механических проблем был вынужден досрочно закончить этап, так и не стартовав на 13-м спецучастке. На 5-м этапе чемпионата, Ралли Италии, Новиков стал 14-м, и после гонки расстался со штурманом Стефаном Прево, по словам россиянина боявшемся скорости. Следующие ралли с 55-летним штурманом Дени Жироде также не принесли Евгению очков, и на двух заключительных этапах сезона ему пришлось стартовать без патронажа M-Sport Stobart Ford World Rally Team. Однако он занял на обоих 7-е места, и перед следующим сезоном вернулся в состав M-Sport Stobart Ford World Rally Team.
Два первых ралли 2012 года Новиков завершал на 5-х местах; на 3-м, мексиканском, он боролся за те же позиции, но сошёл после двух ошибок пилотирования. Следующий этап, Ралли Португалии, стартовал под дождём, и ещё в первый день многие сильнейшие гонщики сошли или потеряли десяток минут. Россиянин же по итогам дня занимал 2-е место, уступая только Микко Хирвонену. Поставив целью добиться первого подиума в карьере, Евгений пропустил во 2-й день Мадса Остберга, но выигрывал у ближайшего преследователя более 4-х минут. Через полкилометра после начала вечерней сессии последнего дня у Новикова сломалась педаль газа, он сумел частично починить её, но на последних спецучастках стал быстро терять время. В итоге Новиков удержался на 3-м месте, менее полуминуты выиграв у Петера Сольберга. После награждения Хирвонен был дисквалифицирован из-за несоответствия некоторых деталей регламенту, и россиянин поднялся на 2-е место.