Родился 20 декабря 1918 года в городе Александровск-Грушевский (ныне город Шахты Ростовской области) в семье рабочего. Русский.
Учился в техникуме в городе Таганрог.
В августе 1936 года Евгения Дранищева направили по комсомольской путевке в Чугуевское военное авиационное училище летчиков. В 1940 году, по окончанию училища, его оставили инструктором. Член ВКП(б) с 1942 года.
В Великую Отечественную войну вступил 20 августа 1942 года под Сталинградом. Командир звена Дранищев в первом же бою 23 августа сбил «Юнкерс». С 20 августа по 13 сентября Дранищев провел на Сталинградском фронте десять воздушных боев, в которых сбил пять самолетов противника. 23 октября удостоен ордена Ленина, в тот же день назначен в состав 9-го гвардейского истребительного авиаполка советских асов. Продолжая сражаться на Сталинградском фронте в составе 9-го гвардейского авиаполка, он довел счет сбитых самолетов до девяти и по праву стал одним из наиболее результативных воздушных асов полка. В феврале 1943 года Дранищев уже был заместителем командира эскадрильи.
В мае 1943 года заместитель командира эскадрильи 9-го гвардейского истребительного авиационного полка гвардии старший лейтенант Дранищев был представлен к званию Героя Советского Союза. К тому времени он совершил 80 боевых вылетов, в 33 воздушных боях сбил 11 самолетов противника.
Ровно год провоевал Евгений Дранищев. За это время он сделал многое: в 120 боевых вылетах провел 50 боев, сбил лично 21 и в группе с товарищами — 7 самолетов.
20 августа 1943 года не вернулся с боевого задания. Обстоятельства последнего боя и место захоронения летчика неизвестны. По другим данным — погиб в неравном бою с 12 самолетами противника на Миусе («Миус-фронт»), прикрывая наземные войска. Похоронен на месте гибели.