Воспитанник одесского «Черноморца». Первый тренер — В. А. Голиков. В 2006 году был переведён в дубль «Черноморца». На зимних сборах «Черноморца» в 2010 года главный тренер Андрей Баль, чаще других ставил в основу Евгения Паста. В Премьер-лиге дебютировал 28 февраля 2010 года в домашнем матче против симферопольской «Таврии» (2:0). Его игра в этом матче состоялась благодаря травме Евгения Ширяева и проблем со здоровьем Виталия Руденко.
24 февраля 2010 года главный тренер молодёжной сборной Украины до 21 года Павел Яковенко огласил состав и впервые вызвал в сборную Евгения Паста. Но главный тренер «Черноморца» Андрей Баль попросил отсрочить его вызов из-за проблем с вратарями в команде.