Родился в Москве, поступил в Третью Московскую гимназию, когда директор там был В. П. Грифцов. После переезда в Санкт-Петербург учился и в 1868 году окончил Ларинскую гимназию, а в 1872 году — юридический факультет Петербургского университета). Еще студентом сотрудничал с рядом изданий.
После окончания университета работал присяжным поверенным в Петербурге. Вел гражданские и уголовные дела. Выступал защитником на громких политических процессах, в том числе на так называемых «процессе 50-ти» (1877) и «процессе 193-х» (1877—1878).
В 1877—1878 годах — издатель либерально-демократической газеты «Северный Вестник», закрытой по высочайшему повелению.
Весною 1878 года способствовал укрывательству и эмиграции террористки Веры Засулич. Она в январе этого же года пыталась совершить убийство петербургского градоначальника Фёдора Трепова, была оправдана судом присяжных, но сразу же после суда должна была подвергнуться новому аресту.
В 1879 году на квартире Евгения Корша проходили собрания центра общества «Земля и воля». На имя Корша землевольцы открыли текущий счёт в банке для революционных расходов. В феврале-апреле 1879 года у Евгения Корша, под видом его помощника, жил один из лидеров «Земли и воли» и «Народной воли» Николай Морозов.
В августе 1880 года Евгений Корш был осуждён Петербургским окружным судом по уголовному обвинению за растрату денег, доверенных ему как адвокату клиентами. Был сослан в Западную Сибирь, жил в Томске. Здесь сблизился с другими ссыльными, в том числе Александром Кропоткиным (братом Петра Кропоткина, теоретика русского анархизма).
В ссылке сотрудничал с «Сибирской газетой». Позже организовал газету «Сибирский Вестник». По заданию томских властей составил и издал «Памятную книжку Томской губернии за 1883 год».
В мае 1888 года Евгений Корш получил помилование и разрешение работать на государственных должностях. С сентября по декабрь был секретарем правления Томского университета.
В 1889 году занял должность правителя дел на Уральской железной дороге. В дальнейшем около двадцати лет работал юрисконсультом на различных магистралях. В 1910 году вышла книга воспоминаний Евгения Корша «Двадцать лет на железных дорогах».
Умер в Санкт-Петербурге, в 1913 году.